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      圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版).doc

      圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)doc》,可适用于考试题库领域

      圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】.熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质并灵活运用它们解决相关的问题。.掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略.灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学)解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决:()结合定义利用图形中几何量之间的大小关系()不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率(a,b,c)适合的不等式(组)通过解不等式组得出离心率的变化范围()函数值域求解法:把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。()利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用往往需要创造条件并进行巧妙的构思()结合参数方程利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程它们的一个共同特点是均含有三角式。因此它们的应用价值在于:①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题()构造一个二次方程利用判别式((。解题时所使用的数学思想方法。()数形结合的思想方法。一是要注意画图草图虽不要求精确但必须正确特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来反之应由代数量确定几何特征三要注意用几何方法直观解题。()转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化实际问题向数学问题的转化动点与不动点间的转化。()函数与方程的思想如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。()分类讨论的思想方法如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】已知双曲线的左、右焦点分别为、抛物线的顶点在原点准线与双曲线的左准线重合若双曲线与抛物线的交点满足则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解:由已知可得抛物线的准线为直线∴方程为由双曲线可知∴∴∴..椭圆()的两个焦点分别为、以、为边作正三角形若椭圆恰好平分三角形的另两边则椭圆的离心率为(B)A.B.C.D.解析:设点为椭圆上且平分正三角形一边的点如图由平面几何知识可得所以由椭圆的定义及得:故选B.变式提醒:如果将椭圆改为双曲线其它条件不变不难得出离心率.(浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若则双曲线的离心率是()A.B.C.D.【解析】对于则直线方程为直线与两渐近线的交点为BC因此.答案:C(江西理)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为右焦点若则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】因为再由有从而可得故选B(陕西理)双曲线()的左、右焦点分别是过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点若垂直于轴则双曲线的离心率为(B)A.B.C.D.(浙江理)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为:,则双曲线的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)(全国一理)在中.若以为焦点的椭圆经过点则该椭圆的离心率.(辽宁文)设双曲线的一个焦点为虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直那么此双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:选D不妨设双曲线的焦点在轴上设其方程为:则一个焦点为一条渐近线斜率为:直线的斜率为:解得(全国卷理)已知F是椭圆C的一个焦点B是短轴的一个端点线段BF的延长线交C于点D且=则C的离心率为.解析:答案:eqf(r(),)如图设椭圆的标准方程为+=(a>b>)不妨设B为上顶点F为右焦点设D(xy).由=得(c-b)=(x-cy)即解得D(-).由D在椭圆上得:=∴=∴e==【解析】如图,作轴于点D,则由得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得【解析】设椭圆方程为第一标准形式设F分BD所成的比为代入(全国理)设分别是双曲线的左、右焦点若双曲线上存在点使且则双曲线的离心率为(B)A.B.C.D.解椭圆的左焦点为F若过点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为椭圆的离心率e为:。本题通法是设直线方程将其与椭圆方程联立借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法(一):设点AB由焦半径公式可得则变形所以因为直线倾斜角为所以有所以提示:本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段巧妙地运用它解题可以化繁为简提高解题效率。一般来说如果题目中涉及的弦如果为焦点弦应优先考虑焦半径公式。解法(二):(辽宁理)()(本小题满分分)设椭圆C:的左焦点为F过点F的直线与椭圆C相交于AB两点直线l的倾斜角为o,椭圆C的离心率解:设由题意知<>(Ⅰ)直线l的方程为其中联立得解得因为所以即得离心率……分A是椭圆长轴的一个端点O是椭圆的中心若椭圆上存在一点P使∠OPA=,则椭圆离心率的范围是解析:设椭圆方程为=(a>b>),以OA为直径的圆:x-axy=,两式联立消y得x-axb=即ex-axb=,该方程有一解x,一解为a,由韦达定理x=-a,<x<a即<-a<a<e<答案:<e<在椭圆上有一点M是椭圆的两个焦点若椭圆的离心率的取值范围是解析:由椭圆的定义可得又所以是方程的两根由可得即所以所以椭圆离心率的取值范围是(湖南)若双曲线(a>,b>)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离则双曲线离心率的取值范围是A(,)B(,)C(,)D(,)解析由题意可知即解得故选B(北京)椭圆的焦点为两条准线与轴的交点分别为若则该椭圆离心率的取值范围是(  )A.B.C.D.解析由题意得∴故选D(湖南)设分别是椭圆()的左、右焦点若在其右准线上存在使线段的中垂线过点则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D分析通过题设条件可得求离心率的取值范围需建立不等关系如何建立?解析:∵线段的中垂线过点∴又点P在右准线上∴即∴∴故选D点评建立不等关系是解决问题的难点而借助平面几何知识相对来说比较简便(福建理)双曲线(a>,b>)的两个焦点为F、F,若P为其上一点且|PF|=|PF|,则双曲线离心率的取值范围为(B)A(,)BC(,)D分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义如何找不等关系呢?利用第二定义及焦半径判断解析:∵|PF|=|PF|,∴|PF|(|PF|=|PF|=|PF|即∴所以双曲线离心率的取值范围为故选B解如图所示设当点P在右顶点处有∵∴选B小结本题通过设角和利用余弦定理将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来通过求角的余弦值的范围从而求得离心率的范围点评:本题建立不等关系是难点如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于)则可建立不等关系使问题迎刃而解(江西理)已知、是椭圆的两个焦点满足的点总在椭圆内部则椭圆离心率的取值范围是(C)A.B.C.D.解据题意可知∠M是直角则垂足M的轨迹是以焦距为直径的圆所以又所以选C小结本题是最常见的求离心率范围的问题其方法就是根据已知条件直接列出关于abc间的不等量关系然后利用abc间的平方关系化为关于ac的齐次不等式除以即为关于离心率e的一元二次不等式解不等式再结合椭圆或双曲线的离心率的范围就得到了离心率的取值范围(重庆)已知双曲线的左右焦点分别为,点P在双曲线的右支上且,则此双曲线的离心率e的最大值为:()ABCD∵|PF|=PF|,∴|PF|(|PF|=|PF|=|PF|即∴所以双曲线离心率的取值范围为故选B已知分别为 的左、右焦点P为双曲线右支上任一点若的最小值为则该双曲线的离心率的取值范围是()ABCD解析欲使最小值为需右支上存在一点P使而即所以已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上O为坐标原点且OP垂直于PA椭圆的离心率e的取值范围是。解:设P点坐标为(),则有消去得若利用求根公式求运算复杂应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得椭圆:的两焦点为椭圆上存在点使求椭圆离心率的取值范围解析设……①将代入①得求得点评:中是椭圆中建立不等关系的重要依据在求解参数范围问题中经常使用应给予重视(福建)已知双曲线的右焦点为F若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是(A)    (B)    (C)    (D)解析欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率∴≥即即∴即故选C(全国Ⅰ)设双曲线C:相交于两个不同的点A、B求双曲线C的离心率e的取值范围:解析由C与相交于两个不同的点故知方程组有两个不同的实数解消去y并整理得(-a)xax-a=①所以解得双曲线的离心率:EMBEDEquationDSMT∴所以双曲线的离心率取值范围是总结:在求解圆锥曲线离心率取值范围时一定要认真分析题设条件合理建立不等关系把握好圆锥曲线的相关性质记住一些常见结论、不等关系在做题时不断总结择优解题尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.设分别是椭圆()的左、右焦点若在其右准线上存在使线段的中垂线过点则椭圆离心率的取值范围是(D)A.B.C.D.(重庆卷文)已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在一点使则该椭圆的离心率的取值范围为.【答案】解法因为在中由正弦定理得则由已知得即设点由焦点半径公式得则记得由椭圆的几何性质知整理得解得故椭圆的离心率(四川理)椭圆的右焦点其右准线与轴的交点为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点则椭圆离心率的取值范围是(A)(B)(C)(D)解析:由题意椭圆上存在点P使得线段AP的垂直平分线过点即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=|PF|∈a-c,a+c于是∈a-c,a+c即ac-c≤b≤ac+c∴(又e∈(,)故e∈答案:D.已知梯形ABCD中|AB|=|CD|点E满足双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点当时双曲线离心率e的取值范围是:。分析:显然我们只要找到e与的关系然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。解:如图建立坐标系这时CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D且以A、B为焦点由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意记A(C,)C(h)E(x,y),其中c=为双曲线的半焦距h是梯形的高。由,即(xc,y)=(x,hy)得:x=设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得将()式代入()式,整理得()=,故=依题设得,解得所以双曲线的离心率的取值范围是.已知双曲线的左、右焦点分别为若在双曲线的右支上存在一点使得则双曲线的离心率的取值范围为.(答案:)解析:方法一:由及双曲线第一定义式得:又.因为点在右支上运动所以得即又故填.方法反思:若改变两个焦半径、的倍分关系同理也可得出相应的离心率的范围.方法二:若思考满足的动点的几何意义将会体现出本试题更大的价值!(引导学生思考:到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么?同时启动几何画板.)因根据阿氏圆的定义可得:点应在以为直径的圆上其中为有向线段的内分点为有向线段的外分点.所以双曲线上若存在点满足题意必有所以.故.方法反思:通过对条件的转化揭示了本题中动点的本质属性从而转化为圆心在轴上的圆和双曲线有公共点的问题体现了模拟试题的综合性同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力.?EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT????EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT????EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT????EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT????EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT????EMBEDEquationDSMT*MERGEFORMAT???AOBxDCyE图版权所有:中华资源库wwwziyuankucomunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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