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      第2节 导数在研究函数中的应用第2课时.pptx

      第2节 导数在研究函数中的应用第2课时

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《第2节 导数在研究函数中的应用第2课时pptx》,可适用于考试题库领域

      考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)求函数f(x)极值的步骤:()确定函数的定义域()求导数f′(x)()解方程f′(x)=求出函数定义域内的所有根()列表检验f′(x)在f′(x)=的根x左右两侧值的符号目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)解析 ()由函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象知当x<-及<x<时f′(x)<f(x)单调递减当-<x<及x>时f′(x)>f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(-∞-)()单调增区间为(-)(+∞).f(x)在x=-处取得极小值在x=处取得极大值因此C不正确.答案 ()C目录《创新设计》?#?诊断自测目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)可导函数y=f(x)在点x处取得极值的充要条件是f′(x)=且在x左侧与右侧f′(x)的符号不同.目录《创新设计》?#?考点二 利用导数求函数的最值(典例迁移)解 ()∵f(x)=ex·cosx-x∴f()=f′(x)=ex(cosx-sinx)-∴f′()=∴y=f(x)在(f())处的切线方程为y-=·(x-)即y=目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)目录《创新设计》?#?考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)解析 ()∵函数y=f(x)在x=处有极值∴f()=且f′()=函数在x=处无极值故舍去.∴f(x)=x+x-x+∴f()=答案 ()目录《创新设计》?#?考点二 利用导数求函数的最值(典例迁移)求函数f(x)在ab上的最大值和最小值的步骤:()求函数在(ab)内的极值()求函数在区间端点处的函数值f(a)f(b)()将函数f(x)的各极值与f(a)f(b)比较其中最大的一个为最大值最小的一个为最小值.目录《创新设计》?#?考点二 利用导数求函数的最值(典例迁移)目录《创新设计》?#?考点二 利用导数求函数的最值(典例迁移)目录《创新设计》?#?考点二 利用导数求函数的最值(典例迁移)目录《创新设计》?#?考点三 函数极值与最值的综合问题可以分离参数构造函数把问题转化为求函数的最值问题由g′(x)>?x>由g′(x)<?<x<所以g(x)在()上是减函数在(+∞)上是增函数所以g(x)min=g()=因此m≤所以m的最大值是目录《创新设计》?#?考点三 函数极值与最值的综合问题目录《创新设计》?#?考点三 函数极值与最值的综合问题目录《创新设计》?#?.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)()若函数f(x)在区间(ab)上单调递增那么在区间(ab)上一定有f′(x)>(  )()若函数y=f(x)在(ab)内恒有f′(x)=则y=f(x)在(ab)内不具有单调性.(  )()函数的极大值一定比极小值大.(  )()函数的最大值不一定是极大值函数的最小值也不一定是极小值.(  )解析 ()函数f(x)在(ab)上单调递增则在(ab)上有f′(x)≥故()错.()函数的极值是局部概念极大值与极小值大小不能确定故()错.答案 ()× ()√ ()× ()√函数的定义域为(+∞)且f′(x)=eqf(,x)-eqf(,)=eqf(-x,x)x()(+∞)f′(x)+-f(x)↗ln-↘故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f()=ln-无极小值.f(x)=lnx-eqf(,)x命题角度 利用导数求函数的极值例-(·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).()当a=eqf(,)时求f(x)的极值()讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.令f′(x)=得x=解 ()当a=eqf(,)时f(x)=lnx-eqf(,)x于是当x变化时f′(x)f(x)的变化情况如表.f′(x)=eqf(,x)-a=eqf(-ax,x)(x>).此时函数在定义域上无极值点当a>时当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))时f′(x)>当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)+∞))时f′(x)<故函数在x=eqf(,a)处有极大值.综上可知当a≤时函数f(x)无极值点当a>时函数y=f(x)有一个极大值点且为x=eqf(,a)命题角度 利用导数求函数的极值例-(·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).()当a=eqf(,)时求f(x)的极值()讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.当a≤时f′(x)>在(+∞)上恒成立()由()知函数的定义域为(+∞)即函数在(+∞)上单调递增可得g(x)=lnx-ax+ax∈(+∞).当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)+∞))时g′(x)<函数g(x)单调递减.∴函数y=g(x)的单调增区间为eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))单调减区间为eqblc(rc)(avsalco(f(,a)+∞))g(x)=lnx-ax+a命题角度 已知极值求参数的值或范围例-(·山东卷改编)设f(x)=xlnx-ax+(a-)x(常数a>).()令g(x)=f′(x)求g(x)的单调区间()已知f(x)在x=处取得极大值求实数a的取值范围.所以g′(x)=eqf(,x)-a=eqf(-ax,x)解 ()由f′(x)=lnx-ax+a又a>当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))时g′(x)>函数g(x)单调递增所以f(x)在x=处取得极小值不合题意.②当a=eqf(,)时eqf(,a)=f′(x)在()内单调递增在(+∞)内单调递减g(x)=lnx-ax+a所以当x∈(+∞)时f′(x)≤f(x)单调递减不合题意.可得当x∈()时f′(x)<当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))时f′(x)>()由()知f′()=所以f(x)在()内单调递减在eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))内单调递增.①当<a<eqf(,)时eqf(,a)>由()知f′(x)在eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))内单调递增综上可知实数a的取值范围为eqblc(rc)(avsalco(f(,)+∞))命题角度 已知极值求参数的值或范围例-(·山东卷改编)设f(x)=xlnx-ax+(a-)x(常数a>).()令g(x)=f′(x)求g(x)的单调区间()已知f(x)在x=处取得极大值求实数a的取值范围.当x∈(+∞)时f′(x)<f(x)单调递减.③当a>eqf(,)时<eqf(,a)<所以f(x)在x=处取极大值符合题意.当x∈eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))时f′(x)>f(x)单调递增求函数f(x)极值的步骤:()确定函数的定义域()求导数f′(x)()解方程f′(x)=求出函数定义域内的所有根()列表检验f′(x)在f′(x)=的根x左右两侧值的符号.如果左正右负那么f(x)在x处取极大值如果左负右正那么f(x)在x处取极小值..可导函数y=f(x)在点x处取得极值的充要条件是f′(x)=且在x左侧与右侧f′(x)的符号不同.应注意导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题应注意分类讨论.【训练】()(·合肥一模)函数y=f(x)导函数的图象如图所示则下列说法错误的是(  )A.(-)为函数y=f(x)的递增区间B.()为函数y=f(x)的递减区间C.函数y=f(x)在x=处取得极大值D.函数y=f(x)在x=处取得极小值【训练】()已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=处有极值则f()=.则eqblc{(avsalco(+a+b+a=,+a+b=))解得eqblc{(avsalco(a=-,b=))或eqblc{(avsalco(a=,b=-))又当eqblc{(avsalco(a=-,b=))时例(经典母题)设函数f(x)=alnx-bx(x>)若函数f(x)在x=处与直线y=-相切()求实数ab的值()求函数f(x)在上的最大值.解 ()由f(x)=alnx-bx得f′(x)=eqf(a,x)-bx(x>).∵函数f(x)在x=处与直线y=-eqf(,)相切.∴eqblc{(avsalco(f′()=a-b=,f()=-b=-f(,)))解得eqblc{(avsalco(a=,b=f(,)))例(经典母题)设函数f(x)=alnx-bx(x>)若函数f(x)在x=处与直线y=-相切()求实数ab的值()求函数f(x)在上的最大值.∴f(x)在eqblcrc)(avsalco(f(,e)))上单调递增在(e上单调递减∴f(x)max=f()=-eqf(,)()由()知f(x)=lnx-eqf(,)x则f′(x)=eqf(,x)-x=eqf(-x,x)当eqf(,e)≤x≤e时令f′(x)>得eqf(,e)≤x<令f′(x)<得<x≤e迁移探究若将本例中的条件改为“已知函数f(x)=+klnx-其中k<”试求解本例第()小题.()当k≠时f′(x)=eqf(kx-,x)由于k<eqf(,e)eqf(,e)≤x≤e所以kx<则f′(x)<故f(x)在eqblcrc(avsalco(f(,e)e))上是减函数f(x)max=feqblc(rc)(avsalco(f(,e)))=e-k-综上当k<eqf(,e)时f(x)max=e-k-解 因为f(x)=eqf(,x)-+klnxx∈eqblcrc(avsalco(f(,e)e))f′(x)=-eqf(,x)+eqf(k,x)=eqf(kx-,x)()若k=则f′(x)=-eqf(,x)在eqblcrc(avsalco(f(,e)e))上恒有f′(x)<所以f(x)在eqblcrc(avsalco(f(,e)e))上单调递减f(x)max=feqblc(rc)(avsalco(f(,e)))=e-求函数f(x)在ab上的最大值和最小值的步骤:第一步求函数在(ab)内的极值第二步求函数在区间端点处的函数值f(a)f(b)第三步将函数f(x)的各极值与f(a)f(b)比较其中最大的一个为最大值最小的一个为最小值..求函数在无穷区间(或开区间)上的最值不仅要研究其极值情况还要研究其单调性并通过单调性和极值情况画出函数的大致图象然后借助图象观察得到函数的最值.训练(·北京卷)已知函数f(x)=excosx-x()求曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程()求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.∴g(x)在eqblcrc(avsalco(f(π,)))上单调递减∴g(x)≤g()=∴f′(x)≤且仅在x=处等号成立∴f(x)在eqblcrc(avsalco(f(π,)))上单调递减∴f(x)max=f()=f(x)min=feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=-eqf(π,)训练(·北京卷)已知函数f(x)=excosx-x()求曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程()求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.()f′(x)=ex(cosx-sinx)-令g(x)=f′(x)则g′(x)=-sinx·ex≤在eqblcrc(avsalco(f(π,)))上恒成立且仅在x=处等号成立∴f(x)的单调增区间是eqblc(rc)(avsalco(f(,e)+∞))单调减区间是eqblc(rc)(avsalco(f(,e)))故f(x)在x=eqf(,e)处有极小值feqblc(rc)(avsalco(f(,e)))=-eqf(,e)无极大值.f(x)=xlnx例(·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=xlnx(x>).()求f(x)的单调区间和极值()若对任意x∈(+∞)f(x)≥恒成立求实数m的最大值.解 ()由f(x)=xlnx(x>)得f′(x)=+lnx令f′(x)>得x>eqf(,e)令f′(x)<得<x<eqf(,e)令g(x)=eqf(xlnx+x+,x)(x>)则g′(x)=eqf(x+x-,x)g(x)=eqf(xlnx+x+,x)例(·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=xlnx(x>).()若对任意x∈(+∞)f(x)≥恒成立求实数m的最大值.()由f(x)≥eqf(-x+mx-,)及f(x)=xlnx得m≤eqf(xlnx+x+,x)恒成立问题转化为m≤eqblc(rc)(avsalco(f(xlnx+x+,x)))eqsdo(min)()求极值、最值时要求步骤规范含参数时要讨论参数的大小.()求函数最值时不可想当然地认为极值点就是最值点要通过比较才能下结论..本题分离参数构造函数把问题转化为求函数的最值问题优化了解题过程.【训练】已知函数f(x)=(a>)的导函数y=f′(x)的两个零点为-和()求f(x)的单调区间()若f(x)的极小值为-e求f(x)在区间-+∞)上的最大值.解 ()f′(x)=eqf((ax+b)ex-(ax+bx+c)ex,(ex))=eqf(-ax+(a-b)x+b-c,ex)因为f(x)的单调递增区间是(-)单调递减区间是(-∞-)(+∞).所以f()=为函数f(x)的极大值故f(x)在区间-+∞)上的最大值取f(-)和f()中的最大者又f(-)=eqf(,e-)=e>=f()所以函数f(x)在区间-+∞)上的最大值是e()由()知x=-是f(x)的极小值点所以有eqblc{(avsalco(f(a-b+c,e-)=-e,g()=b-c=,g(-)=-a-(a-b)+b-c=))解得a=b=c=所以f(x)=eqf(x+x+,ex)

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