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      第46炼 多变量表达式范围——消元法.doc

      第46炼 多变量表达式范围——消元法

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《第46炼 多变量表达式范围——消元法doc》,可适用于考试题库领域

      资料来源:QQ群群文件共享第炼多变量表达式的范围消元法一、基础知识:、消元的目的:若表达式所含变量个数较多则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取值共同影响)所以如果题目条件能够提供减少变量的方式则通常利用条件减少变量的个数从而有利于求表达式的范围(或最值)消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式进而可构造函数求得值域、常见消元的方法:()利用等量关系消元:若题目中出现了变量间的关系(等式)则可利用等式进行消元在消元的过程中要注意以下几点:①要确定主元:主元的选取有这样几个要点:一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数的定义域)二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂)②若被消去的元带有范围则这个范围由主元承担。例如选择为主元且有则除了满足自身的范围外还要满足(即解不等式)()换元:常见的换元有两种:①整体换元:若多元表达式可通过变形能够将某一个含多变量的式子视为一个整体则可通过换元转为一元表达式常见的如等例如在中可变形为设则将问题转化为求的值域问题注:在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围即要确定新元的范围②三角换元:已知条件为关于的二次等式时可联想到三角公式从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同所以在有些题目中可巧妙的解决问题常见的三角换元有:平方和:联想到正余弦平方和等于从而有:推广:平方差:联想到正割()与正切()的平方差为则有推广:注:若有限定范围时要注意对取值的影响一般地若的取值范围仅仅以象限为界则可用对应象限角的取值刻画的范围、消元后一元表达式的范围求法:()函数的值域通过常见函数或者利用导数分析函数的单调性求得函数值域()均值不等式:若表达式可构造出具备使用均值不等式(等)的条件则可利用均值不等式快速得到最值。()三角函数:①形如的形式:则可利用公式转化为的形式解得值域(或最值)②形如:则可通过换元将其转化为传统函数进行求解③形如:可联想到此式为点和定点连线的斜率其中为单位圆上的点通过数形结合即可解得分式范围二、典型例题:例:设实数满足则的取值范围是思路:考虑可用进行表示进而得到关于的函数再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围再求出函数值域即可解:由及(*)可得:解得:小炼有话说:(*)为均值不等式的变形:例:已知函数对任意的存在使得则的最小值为()ABCD思路:由已知可得:考虑进行代入消元但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁分别表示进而将变为关于的表达式再求最值。解:令设可得且为增函数在单调递减在单调递增答案:D例:设正实数满足则当取得最小值时的最大值为思路:首先要通过取得最小值得到之间的关系然后将所求表达式进行消元再求最值即可。解:①等号成立条件为:代入到①可得:的最大值为例:已知且则的最大值为()ABCD思路:所求表达式为考虑消元由已知可得从而达到消元效果所求表达式为进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围由可得即所以所以当时答案:A小炼有话说:()本题处理的关键在于选择作为核心变量这是因为在条件中可得到从而可用表示使得消元变得可能()在处理的最值时也许会想到均值不等式:但看一下等号成立条件:并不满足故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。例:已知则的最大值为解:设其中可知当时答案:例:若实数满足条件则的取值范围是思路一:考虑所求式子中可变为所以原式变形为:可视为关于的二次函数设其几何含义为与连线的斜率则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率即则思路二:本题也可以考虑利用三角换元。设从而原式转化为:由可知的范围为答案:例:已知函数有两个极值点且则的取值范围是解:为方程的两个根代入可得:设设在单调递减即答案:例:对于当非零实数满足且使最大时的最小值是思路:首先要寻找当最大时之间的关系以便于求多元表达式的范围从方程入手向靠拢进行变形在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。解:由可得:(等号成立条件:最大值是从而可得:解得:答案:的最小值为例:已知函数其中且()若求函数的极值()已知设为的导函数若存在使得成立求的取值范围解:()由已知可得:令即解不等式解得:或的单调区间为:的极大值为的极小值为()由已知可得:即设可得当时恒成立在单调递增即例:已知函数其中()求的单调区间()若且存在实数使得对任意实数恒有成立求的最大值解:()当时在单调递增当时在单调递增单调递减()思路:恒成立的不等式为:即设可得:从而通过讨论的符号确定的单调性进而求出的最小值(含的表达式)进而将放缩成单变量表达式求出的最大值解:恒成立的不等式为:设即由()可得:在单调递减①若则即在上单调递增②若即则即在上单调递减而③当时在单调递减在上单调递增单调递减综上所述:的最大值为微信公众号:中学数学研讨部落unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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