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      首页 数学破题36计(21-24)

      数学破题36计(21-24).doc

      数学破题36计(21-24)

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《数学破题36计(21-24)doc》,可适用于考试题库领域

      第计图表开门信息传送●计名释义图表也是一种数学语言这种语言以图形和表格的形式传送信息它有立意新颖设计灵活构思精巧内涵丰富解法多样等特点因而备受当今命题人的青睐许多创新题型每每在图表上打主意解图表型题目应在读图表识图表和用图表上找窍点通过观察找到其中的关键点有效地实现图表语言到文字语言的转化从而在思考上引起质的飞跃从而达到破题的目的●典例示范【例】如图甲、乙两人分别位于方格中A、B两处从某一时刻开始两人同时以每分钟一格的速度向东或西或南或北方向行走已知甲向东、西行走的概率均为向南、北行走的概率分别为和p乙向东、西、南、北行走的概率均为q例题图()求p和q的值()试判断最少几分钟甲、乙两人可以相遇并求出最短时间内可以相遇的概率【分析】同时进行两个相互独立事件因为概率的总和为因此有以下解答【解答】()甲向四个方向行走是一个必然事件∴p=,∴p=同理q=∴q=【分析】甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数但我们可以看到甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上他们要在最短时间内相遇他们必须沿着这个正方形的边行走【解答】()如解图设甲、乙两人在C、D、E处相遇的概率分别为pC、pD、pE【插语】从图形中来回到图形中去在图上标明这三点让我们的思路一目了然才会有下面的解答【继解】甲、乙两人最少需要分钟可以相遇【插语】每人朝对方走步因为他们的速度相同(每分钟都是一格)例题解图【继解】则pC=pD=pE=×=∴pCpDpE=即所求的概率为【评说】这是一个几何图形信息题具有多样性、直观性的特征充分挖掘图形内涵全方位地审视图形全面掌握图形所提供的信息以形助数是解决信息题的关键【例】函数f(x)=axbxcxd的部分数值如下:xy则函数y=lgf(x)的定义域为【分析】所求函数为复合函数只需f(x)>即可但f(x)中含有四个系数abcd所以先确定它们的值【解答】设f(x)=a(x)(x)(x)而f()=∴a=【插语】为什么这样设这来源于表格中y有三个值点关键点的选取使我们的系数一下减少了个此设是本题的一个突破口【续解】∴f(x)=(x)(x)(x)要使y=lgf(x)有意义则有f(x)=(x)(x)(x)>,由数轴标根法解得<x<或x>∴函数y=lgf(x)的定义域为()∪(∞)【评说】本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起而且给出了多余的条件信息属开放问题这些正是题目命制的创新之处解答这类信息过剩的问题时要注意从众多的信息中观察、分析、筛选放弃无用的信息挑选出与解题有关的信息找到解题的突破口这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力。●对应训练甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛射击相同的次数已知两运动员射击的环数稳定在环他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示()根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中环的概率P(ξ乙=)并求甲乙同时击中环以上(包括环)的概率()根据这次训练比赛的成绩估计甲乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)第题图如图小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动小正六边形的边长是大正六边形边长的一半如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置在这个过程中向量围绕着点O旋转了θ角其中O为小正六边形的中心则sin=。第题图●参考答案()由图乙可知P(ξ乙=)=,P(ξ乙=)=P(ξ乙=)=,∴P(ξ乙=)==由图甲可知P(ξ甲=)=P(ξ甲=)=P(ξ甲=)=,∴P(ξ甲=)=-=∵P(ξ甲≥)==P(ξ乙≥)==∴甲、乙同时击中环以上(包括环)的概率为:P=P(ξ甲≥)×P(ξ乙≥)=×=()∵Eξ甲=××××=,Eξ乙=××××=,∴Eξ甲>Eξ乙所以估计甲的水平更高【评说】条形统计图能直观反映各种数据具有可比性、规律性理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键从第一图的开始位置变化到第二图时向量绕点O旋转了(注意绕点O是顺时针方向旋转)从第二图位置变化到第三图时向量绕点O旋转了则从第一图的位置变化到第三图位置时正好小正六边形滚过大正六边形的一条边向量绕点O旋转了π则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置向量绕点O共旋转了π即θ=π因而sin【评说】本题要仔细阅读题意分析图形把握图形与题意的联系可从简单情形特殊位置入手找到变化规律来解决问题第计数形开门体美神丰●计名释义“有数无形少直观有形无数入微难”这是华罗庚先生讲数形结合的意义“凭直观图上看想深入解析出”这是专家们谈形与数各自的特征“遇式不用愁请你先画图看图莫着急静心来分析”这是在讲数形互动“图形有形象记数不易忘解析有内功看图静变动”这是在讲数形互补“观图见形美初品数学味想数内涵丰数学色调浓”这是美学家对数形的赞赏函数有图形图象轨迹有图象图形三角、几何就更不必说集合有韦恩图逻辑有方框图组合、二项式有杨辉三角如此等等然而数形结合中的形仅相对数而言如几何中最简单的直线平面等现实生活中并不存在这里的形是数的象征是精神的直观现在有人把“函数图象”写成“函数图像”这是对数形的大误你怎么不把“想象”写成“想像”呢?●典例示范【例】若直线y=a与函数y=|ax|(a>a≠)的图象有两个公共点则a的取值范围是【解答】函数y=|ax|=其图象由y=|ax|(a>a≠)的图象下移一个单位得到如图当a>时直线y=a与y=|ax|(a>a≠)的图象仅一个交点当<a<时当且仅当<a<时直线y=a与y=|ax|(a>a≠)的图象有两个公共点解得a∈()例题解图【评注】本题也是有数无形解法是“图形开门体美神丰”【例】当曲线y=与y=k(x)有两个相异交点时实数k的取值范围是()ABCD【解答】方程即y=即x(y)=(y≥)它表示以()为圆心为半径的上半圆方程y=k(x)表示过()且斜率为k的直线原题的含义是:当直线与半圆有两个相异交点时该直线的斜率应在什么范围?如图直线MB、MC与半圆切于B、C半圆的两端依次为A()()显然线段AB内任意一点与M的连线与半圆都只一个公共点∴kmax=kMA=设直线MC交直线y=于N令∠DMC=∠DMB=α∠DNM=β例题解图显然tanα=∴tanβ=tan(°α)=cotα=于是斜率k∈选B【反思】只有准确理解“数”的意义才能恰当的“图形开门体美神丰”【例】设实数(xy)满足方程xyxy=则的最小值是【解答】圆(x)(y)=的圆心C(,)半径r=如图所示此圆在第一象限且与两轴相切为求的最小值先求的最大值表示圆上的点(x,y)与定点P()连线的斜率例题解图∴kPA≤≤kPB(其中PA、PB为过P所引圆的切线)设∠APC=∠CPB=θ则tanθ=,∴tan∠BPA=tanθ=∴从而【例】已知f(x)是定义在()上的奇函数当x∈()时f(x)的图像如图所示那么不等式f(x)·cosx<的解集是【思考】将f(x)在()内的图像补充完整如图所示可知:当x∈()∪()时f(x)>为使f(x)·cosx<只须cosx<得x∈当x∈()∪()时f(x)<为使f(x)·cosx<只须cosx>得x∈∪(,)∴f(x)·cosx<的解集为∪(,)∪例题图例题解图【点评】仅凭图像无法断定f(x)的解析式就本题而言也不必纠缠于此而花费不必要的精力能断定f(x)的正、负区间即足够解题需要这即是图形的功能●对应训练若不等式xlogax<在()内恒成立则a的取值范围是()A≤a<B<a<C<a<Da>P是抛物线y=x上任意一点则当P和直线xy=上的点距离最小时P与该抛物线的准线距离是()ABCD方程的实根共有()A个B个C个D个若方程=有实数解则a的取值范围是()A()∪()B[)∪(]C()D[]若关于x的方程log(xa)=logx有且仅有一个实数解试求实数a的取值范围●参考答案A在同一坐标平面内作y=xy=logax的图像如图由题意可知必有<a<进而设x=时y=x图像上的点为A两曲线的交点为P要使y>y在()内恒成立必须且只需P点在A的右边而P点与A点重合时a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<第题解图第题解图B作出y=x及xy=的图像如图所示设与xy=平行的抛物线切线为L由图可知切点P到xy=的距离最小设P(xy),则L方程为y=xb与抛物线y=x联立得:x=则y=x=所以P到抛物线准线y=的距离为A设y=变形得(x)y=∴y的图像是以()为圆心为半径的上半圆设y=变形得:(x)·(y)=y的图像是以直线x=y=为渐近线的双曲线如图所示两曲线仅一个交点即原方程只有个实根第题解图第题解图A原方程可变形为lg=lg(xa)设y=它表示以原点为圆心为半径的半圆如图设y=xa(y>)它表示斜率为的射线(不含端点)其中a的几何意义是射线在x轴上的端点如图所示当≤a<时两曲线有交点又因为xa≠令x=a代入方程x(xa)=解得a=或a=所以a≠且a≠故a∈()∪()解析∵原方程∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程xa=在x>时有且仅有一个实数解问题转化为直线y=xa与曲线y=(x>)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点由图像易得a=或a≤点评本题若用代数方法求解比较繁琐由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了第计探索开门智勇双锋●计名释义所谓创新题就是这之前没有做过没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目它的答案(是否存在)它的解法(暂时不知)需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决这就是所谓的“探索解题”“石头”指我们已有的知识和方法这当然是很重要的若要“过河”仅有这些还不够过河人还需要两大素质:大智大勇!面对着数学上的探索问题智、勇体现在哪里?勇大胆地猜智小心地证●典例示范【例】如图所示在正四棱柱ABCDABCD中E、F、G、H分别是棱CCCDDD的中点N是BC中点点M在四边形EFGH及其内部运动则M只要满足条件时就有MN∥平面BBDD(请填上你认为正确的一个条件即可不必考虑全部可能情况)【思考】显然HN∥BD即得HN∥平面BBDD为使点M在平面EFGH内运动时总有BBDD∥M只需过HN作平面使之平行于平面BBDD将线面平行的问题转化为面面平行的问题【解答】连FH当点M在HF上运动时恒有MN∥平面BBDD例题图例题解图证明如下:连NHHFBDBD且平面NHF交BC于P则NH∥BDHF∥BB故平面PNHF∥平面BBDDMN平面PNHF∴MN∥平面BBDD【例】知f(x)是二次项系数为负数的二次函数且对于任何x∈Rf(x)=f(x)总成立问f(x)与f(xx)满足什么条件时才能使<x<成立【思考】根据已知条件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=的二次函数然后可通过函数单调区间进行分类讨论【解答】由题设知:函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=的抛物线故函数f(x)在(∞,]上是增函数在[,∞)上是减函数∵x≤<xx=(x)≤∴x∈(∞,]xx∈(∞,]当f(x)<f(xx)时x<xx即xx>解得x<或x>不能使<x<成立当f(x)>f(xx)时x>xx,即xx<解得<x<符合题意当f(x)=f(xx)时可得x=或不能使<x<成立∴当f(x)>f(xx)时才能使<x<成立【例】能否构造一个等比数列{an}使其同时满足三个条件:①aa=②aa=③至少存在一个自然数m使amaam依次成等差数列若能请写出这个数列的通项公式【解答】先考虑前两个条件设等比数列{an}的公比为q∵aa=aa,∴由即满足条件①②的等比数列其通项公式为an=·n或an=·n()如an=·n设存在题设要求的m∈N则×=化简得:m·m=m=∴m=()如an=·n设存在m∈N,使·化简得:(m)-·m=这里Δ=×=不是完全平方数∴符合条件的m不存在综上所述能构造出满足条件①②③的等比数列该自然数m=数列的通项公式为:an=·n【例】将二次函数f(x)=axbxc对应于一次函数g(x)=axb()求f(x)=xx对应的一次函数g(x)()观察后请写出这个对应法则()可以用g(x)的某些性质来研究f(x)的性质:当g(x)>时对应的f(x)的性质有哪些?()你还能研究另外的某些性质吗?()设g(x)=x写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式【思考】本例是结论开放型试题解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整f(x)与g(x)是什么关系?我们容易由f′(x)=axb知f′(x)=g(x)可见只有当g(x)=f′(x)时才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质【解答】()∵a=b=∴g(x)=x()①g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积②g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数()g(x)>即axb>当a>时x>而x=是f(x)的对称轴故这时f(x)是单调增函数a<时x<f(x)仍为单调增函数(前者单调区间为后者单调区间为)()当g(x)<时f(x)是单调减函数(请仿照()证明之)()g(x)=x时axb=x知a=b=只须在f(x)=axbxc中命a=b=c取任意值即可如f(x)=xf(x)=xf(x)=x【小结】指导开放题解法的理论依据是充分必要条件即若AB则称A为B的充分条件B为A的必要条件●对应训练已知圆O′过定点A(P)(P>)圆心O′在抛物线x=py上运动MN为圆O′在x轴上截得的弦令|AM|=d|AN|=d∠MAN=θ()当O′运动时|MN|是否有变化并证明你的结论()求的最大值,并求取得最大值的θ的值如图所示已知在矩形ABCD中AB=BC=a(a>)PA⊥平面AC且PA=()问BC边上是否存在Q便得PQ⊥QD并说明理由()若BC边上有且只有一点Q使得PQ⊥QD求这时二面角QPDA的大小第题图已知椭圆(a>b>)的离心率e=过点A(,b)和B(a,)的直线与原点距离为(Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)已知定点E(,),若直线y=kx(k≠)与椭圆交于C、D两点试判断:是否存在k的值使以CD为直径的圆过点E?若存在求出这个值若不存在说明理由是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件:①原点O与直线x=是它的焦点和准线②被直线xy=垂直平分的弦的长等于若存在求出它的方程若不存在说明理由●参考答案()如图所示设抛物线上一点O′(x)连结O′AO′M作O′C⊥MN于C则|MN|=|MC|∵|O′M|=|O′A|=∴|MC|=第题解图∴|MN|=p为定值即当O′运动时|MN|不会有变化总有|MN|=p()如图所示有M(xp)N(xp)∴d=d=∴dd=pxdd=∴==当且仅当x=p即x=±py=p时等式成立此时|O′M′|=|O′N′|=p∴∠MO′N=°∴△MO′N为等腰直角三角形∴θ=°【思考】这是一道探索性问题解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发此题要使PQ⊥QD∵PA⊥面ABCD只需满足AQ⊥QD即可再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件从而使问题得到解决【解答】()连结AQ∵PA⊥面ABCD∴要使PQ⊥QD只要AQ⊥QD即以AD为直径的圆与BC有公共点这就是说当AD≥AB即a≥在BC边上存在点Q使PQ⊥QD()∵当a>时以AD为直径的圆与BC有两个交点当a=时只有BC的中点满足条件∴AD=Q为BC的中点取AD的中点M连结QM∵面PAD⊥面ABCDQM⊥AD∴QM⊥面PAD过M作MN⊥PD于N连结NQ根据三垂线定理有QN⊥PD∴∠MNQ就是二面角QPDA的平面角在Rt△QMN中QM=MN=MD·sin∠MDN=×∴tan∠MNQ=∴二面角QPDA为arctan【思考】第一问从离心率的定义入手很容易求得a、b的值从而得到椭圆方程第二问判断k值是否存在可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题若求出符合条件的k值则存在反之则不存在【解答】(Ⅰ)e=∴∴a=b即a=b过A(,b)B(a,)的直线为把a=b代入即xyb=,又由已知解得b=∴a=(Ⅱ)设C(xy)D(xy)由消去y得(k)xkx=必须k≠且Δ=(k)(k)>∴k<或k>①要存在k满足①且使,即xxxxyy=②∵y=kxy=kx∴②式即为(k)xx(k)(xx)=③∵xx=代入③得kkkk=∴k=满足①式∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点这个值是设存在这样的双曲线其离心率为则根据双曲线定义得:化简为:(e)xyexe=将弦所在直线y=xb代入得:(e)x(be)xeb=设弦AB的两端点A(xy)B(xy)AB中点M(xy)则xx=xx=x=即y=xb=b代入xy=得b=从而xx=x·x=弦长|AB|=解得e=符合题意,所以存在双曲线方程:xyx=经检验它是满足题意的双曲线第计杠杆开门以轻拨重●计名释义(来源http:urlcnAShZy)派大力士扛千斤鼎靠的是力用四两砣拨千斤鼎用的是智杠杆原理以轻拨重要考虑两个因素:一是支力二是支点支力从解题人的学科知识中寻找支点从解题人的思想方法中寻找其实智的体现集中于支点的寻找找得越巧越省力支点中的点在哪里本书开场就是“点到成功”可以去问问“芝麻”数学中的好点多着呢!重合点对称点极限点中心点定比分点……要有尽有关键是你面临的那个具体问题你看中了哪个亮点!●典例示范【例】正四面体的高线长为求其外接球的体积【分析】说曹操曹操就到刚刚拿出来杠杆要“扛”的东西就来了线段AB的重心在其中点M点如果AB处各放个质点则其点M会聚了个质点正三角形ABC的重心在它的中线CM上C点放个质点中点M处有个质点故重心G会聚了个质点按杠杆原理CG=GM至于正四面体中心在哪里?这还用得算吗?【解答】设正四面体的顶点为V底面中心为G四面体中心为O由杠杆原理O在GV的第个四等分点上即VO=OG因此正四面体的外半径R=h=故正四面体体积为πR=π【点评】如果派大力士去解此题他将是:①先解个直角三角形求得“斜高”②用列方程求外半径精力过剩者这当然是一种乐趣【例】直线l左移个单位再上移个单位时恰回到原来的位置这直线的斜率是()ABCD【思考】本题的破题之口在哪儿呢取特殊点将支点选在原点O()左移个单位上移个单位得M()于是kl=kOM=选A【点评】两点确定一条直线而斜率相等的一切不同直线都平行这就是本题解法的依据或“道理”试问:什么样的直线平行移动后可以不经过原点呢?既如此取特殊点原点以达到杠杆开门以轻拨重之目的,即是最实惠的选择【例】(·上海卷)若函数f(x)的图象可由函数y=lg(x)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到则f(x)=()AxBxCxDx【解答】本题的杠杆在哪儿取特殊点在y=lg(x)的图象上取一点A()将OA绕原点逆时针旋转°得B()代入各选项仅A适合∴选A【点评】函数的图象都是点的集合以点的旋转取代图形的旋转已经够特殊的了而在无穷无尽的点中敏锐的找到A()(经过旋转则得B())这样绝妙的特征点从而轻而易举地找出正确的答案这难道不痛快淋漓的吗?【例】如图()所示在多面体ABCDEF中已知面ABCD是边长为的正方形EF∥ABEF=EF与面AC的距离为则该多面体的体积是()例题图ABCD【思考】用特殊图形如图()所示使ED⊥平面ABCD且使ED=连AF、DF则EF⊥面ADE∵VFADE=·EF·S△ADE=××=VFABCD=·DE·S□ABCD=··=∴V多面体==选D【点评】本题正是年难倒大批考生的全国高考题多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补因而计算繁杂其实在不影响题设这个大前提的条件下让图形特殊、再特殊使之能用最简单的方式求其体积你还要讲道理吗?君不见:等底等高的一切锥体等积历经了几千年考验的祖暅原理难道还不算经典道理吗?●对应训练动点A在双曲线=上B、C为双曲线的左、右焦点△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=cb=则tancot的值是()ABCD已知<x<y<a<则有()Aloga(xy)<B<loga(xy)<C<loga(xy)<Dloga(xy)>设{an}是公比为a,首项为b的等比数列Sn是前n项和对任意的n∈N点(SnSn)()A在直线y=axb上B在直线y=bxa上C在直线y=bxa上D在直线y=axb上函数y=xsin|x|,x∈[π,π]的大致图像是()第题图●参考答案A取特殊图形BC=双曲线焦点为B(,),C(,)cb=m=,∴m=,n=双曲线方程为:=,离心率e=取特殊位置AC⊥BC则有A,∴AC=,从而AB=,cosB=,sinB=而C=°第题解图∴tancot=·cot°=D取特殊值x=,y=,a=,满足<x<y<a<则loga(xy)=log=否定A、B、CD取特殊值取a=,b=,则Sn==n各选项依次为:Ay=xBy=xCy=xDy=x取点(SS)=()代入各选项仅D适合C取图形上的特殊点令x=则y=点应位于直线y=x上方排除A、B、D

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