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      首页 2017年版《普通高中课程标准》数学(word文档)完整版

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      2017年版《普通高中课程标准》数学(word文档)完整版

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      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《2017年版《普通高中课程标准》数学(word文档)完整版doc》,可适用于考试题库领域

      普通高中数学课程标准(年版)中华人民共和国教育部制定前言党的十九大明确提出:“要全面贯彻党的教育方针落实立德树人根本任务发展素质教育推进教育公平培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。”基础教育课程承载着党的教育方针和教育思想规定了教育目标和教育内容是国家意志在教育领域的直接体现在立德树人中发挥着关键作用。年教育部启动了普通高中课程修订工作。本次修订深入总结世纪以来我国普通高中课程改革的宝贵经验充分借鉴国际课程改革的优秀成果努力将普通高中课程方案和课程标准修订成既符合我国实际情况又具有国际视野的纲领性教学文件构建具有中国特色的普通高中课程体系。一、修订工作的指导思想和基本原则(一)指导思想以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想为指导深入贯彻党的十八大、十九大精神全面贯彻党的教育方针落实立德树人根本任务发展素质教育推进教育公平以社会主义核心价值观统领课程改革着力提升课程思想性、科学性、时代性、系統性、指导性推动人才培养模式的改革创新培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。(二)基本原则.坚持正确的政治方向。坚持党的领导坚持社会主义办学方向充分体现马克思主义的指导地位和基本立场充分反映习近平新时代中国特色社会主义思想有机融入坚持和发展中国特色社会主义、培育和践行社会主义核心价值观的基本内容和要求继承和弘扬中华优秀传统文化、革命文化发展社会主义先进文化加强法治意识、国家安全、民族团结、生态文明和海洋权益等方面的教育培养良好政治素质、道德品质和健全人格使学生坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信和文化自信引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观。.坚持反映时代要求。反映先进的教育思想和理念关注信息化环境下的教学改革关注学生个性化、多样化的学习和发展需求促进人才培养模式的转变着力发展学生的核心素养。根据经济社会发展新变化、科学技术进步新成果及时更新教学内容和话语体系反映新时代中国特色社会主义理论和建设新成就。.坚持科学论证。遵循教育教学规律和学生身心发展规律贴近学生的思想、学习、生活实际充分反映学生的成长需要促进每个学生主动地、生动活泼地发展。加强调查研究和测试论证广泛听取相关领域人员的意见建议重大问题向权威部门、专业机构、知名专家学者咨询求真务实严谨认真确保课程内容科学表述规范。.的个数。由于k个b来自不同的k个二项式(ab)个a来自剩余的个二项式(ab)因此同类项的个数是组合数。得到展开式。根据加法原理可以得到二项式的展开式为=即【拓展】通过类比的方法探索概率中的二项分布。案例 杨辉三角【目的】通过杨辉三角了解中华优秀传统文化中的数学成就体会其中的数学文化。【情境】图中的表称为杨辉三角它出现在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中。这是我国数学史上的一个伟大成就。【分析】杨辉三角有许多重要性质。.每行两端的数都是。.第n行的数字有n个。.第n行的第m个数可表示为且(ab)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n行中的各项。.每行数字左右对称即第n行的第m个数与第n行的第nm个数相等。.相邻的两行中除以外的每个数等于塔“肩上”两数的和即第n行的第i个数等于第n行的第i个数与第i个数的和可表示为其中≤i≤n。可用此性质写出整个杨辉三角。.第n行数字和为n。案例 测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价【目的】本案例是案例的深化。给出过程性评价体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、归纳总结发现问题、积累经验、提升素养。【评价过程】在每一个学生都完成“测量报告”后安排交流讲评活动。安排讲评的报告应当有所侧重。例如测量结果准确测量过程消晰测量方法有创意误差处理得当报告书写认真等或误差明显而学生自己没有察觉测量过程中构建的模型有待商榷等。事实表明这种形式的交流讲评往往是数学建模过程中学生收获最大的环节。附件:某个小组的研究报告的展示片段摘录。测量不可及“理想大厦”的方法两次测角法()测量并记录测量工具距离地面hm()用大量角器将一遍对准大厦的顶部计算并记录仰角α()后退am重复()中的操作计算并记录仰角β()楼高x的计算公式为:其中αβah如图所示.镜面反射法()将镜子(平面镜)置于平地上人后退至从镜中能够看到房顶的位置测量人与镜子的距离()将镜子后移am重复()中的操作()楼高x的计算公式为其中aa是人与镜子的距离a是两次观测时镜面之间的距离h是人的“眼高”如图所示。根据光的反射原理利用相似三角形的性质联立方程组可以得到这个公式。实际数据测量和计算结果测量误差简要分析:()两次测角法实际测量数据:第一次第二次仰角°°后退距离为m人的“眼高”为m计算可得理想大厦的高度约为m结果与期望值(m~m)相差不大。误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确。减少误差的方法是几个人分别测量高度及仰角再求平均值误差就能更小。()镜面反射法实际测量数据:第一次第二次人与镜子的距离mm镜子的相对距离为m人的“眼高”为m。计算可得理想大厦的高度约为m结果与期望值相差较大。产生误差有以下几点原因:镜面放置不能保持水平两次放镜子的相对距离太短容易造成误差人眼看镜内物像时两次不一定都看准镜面上的同一个点人体不一定在两次测量时保证高度不变。综上所述要做到没有误差很难但可以通过某些方式使误差更小我们准备用更多的测量方法找出理想的结果。对上面的测量报告教师和同学给出评价。例如对测量方法教师和同学评价均为“优”因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法对测量结果教师评价为“良”同学评价为“中”因为两种方法得到的结果相差较大。学科网对测量结果的评价教师和同学产生差异的原因是教师对测量过程的部分项目实施加分包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析同学则进一步分析产生误差的主要原因包括:()测量工具问题。两次测角法的同学自制量角工具比较粗糙角度的刻度误差较大镜面反射法的同学选用的镜子尺寸太大造成镜面间距测量有较大误差。()间距差的问题。这是一个普通的问题。间距差a值是测量者自己选定的因为没有较长的卷尺测量距离有的同学甚至选间距差a是m。由于间距太小两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小最终导致计算结果产生巨大误差。当学生意识到了这个问题后他们利用运动场m跑道的自然长度作为间距差a使得测量精度得到较大提高。()不少学生用自己的审稿代替“眼高”反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度如照片所示。在结题交流过程中教师通过测量的现场照片引导学生发现问题让学生分析测量误差产生的原因。学生们在活动中意识到书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式。测量现场的照片和观察说明:【分析】建模活动的评价要关注结果更要关注过程。对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的主要由教师作评价。评价依据是现场观察和学生上交的测量报告关注的主要评价点有:()测量模型是否有效()计算过程是否清晰准确测量结果是否可以接受()测量工具是否合理、有效()有创意的测量方法(可获加分)()能减少测量误差的思考和做法(可获加分)()有数据处理的意识和做法(可获加分)……非数学的评价可以占总评价的主要评价点有:()每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态()测量过程中解决困难的机智和办法()讨论发言、成果汇报中的表现等。非数学的评价主要是在同学之间进行可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩并写出评价的简单理由。案例 函数图象【目的】说明数学抽象素养的表现和水平体会评价“在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则”的满意原则和加分原则。【情境】学校宿舍与办公室相距am。某同学有重要材料要送交给老师从宿舍出发先匀速跑步min来到办公室停留min然后匀速步行min返回宿含。在这个过程中这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数画出速度函数和路程函数的示意图。【分析】回顾课程标准的要求在实际情境中能够用图象揭示图数性质整体反映函数的基本特征。本题答案的示意图如图所示。解答本题时能给出速度函数或路程函数的大部分示意图根据满意原则可以认为达到数学抽象素养水平一的要求能够完整画出速度函数和路程函数示意图(二者自变量一致)可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。这个问题也可以考查直观想象等素养。案例传令兵问题【目的】说明数学抽象素养的表现和水平体会评价“分析数学命题的条件与结论在具体的情境中抽象出数学问题”的满意原则和加分原则。【情境】有一支队伍长Lm以速度v匀速前进。排尾的传令兵因传达命令赶赴排头到达排头后立即返回往返速度不变。回答下列问题:()如果传令兵行进的速度为整个队伍行进速度的倍求传令兵回到排尾时所走的路程()如果传令兵回到排尾时全队正好前进了Lm求传令兵行走的路程。【分析】正确给出()的解答可以认为达到数学抽象素养水平一的要求正确给出()的解答可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。这个问题也可以考查逻辑推理、数学运算等素养。本题可以作如下解答。()传令兵往返速度为v从排尾到排头所需时间为从排头到排尾所需时间为故传令兵往返共用时间为往返路程为。()设传令兵的行进速度为则传令兵从排尾刻排头所需时间为从排头到排尾所需时间为往返共用时间为往返所走路程为。由传令兵回到排尾时全队正好前进了L则故传令兵往返路程为。【拓展】如果传令兵从排尾到排头的行进速度为整个队伍行进速度的从排头再回到排尾的行进速度为整个队伍行进速度的求传令兵行走的路程。案例跑道问题【目的】说明数学直观想象素养的表现和水平体会评价“能够在熟悉的情境中建立实物的几何图形能够建立简单图形与实物之间的联系体会图形与图形、图形与数量的关系”的满意原则、加分原则。【情境】m标准跑道的内圈如图所示其中左右两边均是半径为m的半圆弧。(注:m标准胞道最内圈约为m)()求每条直道的长度(圆周率取结果精确到m)()建立平面直角坐标系xOy写出跑道上半部分对应的函数解析式。图标准跑道内圈示意图【分析】回顾课程标准的要求:“在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程与一般方程。”“能根据给定直线圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。”如果能够完成()的计算可以认为达到直观想象素养水平一的要求能够基本得到()所要求的表达式可以认为达到直观想象素养水平二的要求。这个问题也可以考查数学运算等素养。本题解答如下。()因为跑道两端的弧形合起来是一个完整的圆周所以弧形部分跑道的长度为××=(m)两条直道长度为=(m)所以每条直道长约为÷≈(m)。()建立如图所示的平面直角坐标系。当≤x<时圆的方程为函数解析式为当≤x<时画数解折或为y=当≤x≤时函数解析式为。所以函数解析式为图建立坐标系示意图【拓展】可以考虚以图形的中心为原点建立平面直角坐标系。案例距离问题【目的】说明如何考查学生数学抽象、直观想象和数学运算等素养达成的综合情况体会“要关注数学学科核心素养各要素的不同特征及要求更要关注数学学科核心素养的综合性与整体性。”【情境】在数轴上对坐标分别为x和x的两点A和B用绝对值定义两点间的距离表示为d(AB)=|xx|。回答下面的问题:()在数轴上任意取三点ABC证明d(A,B)≤d(A,C)d(B,C)。()设A和B两点的坐标分别为和找出满足d(AB)=d(A,C)d(B,C)的点C的范围再找出满足d(A,B)<d(A,C)d(B,C)的点C的范围。【情境】城市的许多街道是相互垂直或平行的因此往往不能沿直线行走到达目的地只能按直角拐弯的方式行走。如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系对两点A(xy)和B(x,y),类比“情境”中的方式定义两点间距离为d(AB)=|xx||yy|,回答类似的问题:()在平面直角坐标系中任意取三点ABC证明d(AB)≤d(A,C)d(B,C)。()设A和B两点坐标分别为(xy)和(x,y),找出满足d(AB)=d(A,C)d(B,C)的点C的范围再找出满足d(AB)<d(A,C)d(B,C)的点C的范围。【拓展】在“情境”中的距离意义下画出到定点O()的距离等于的点P(xy)所形成的图形。从上述距离的定义出发给出“点到直线的距离”的定义并计算已知点到已知直线的距离。案例四棱锥中的平行问题【目的】以空间中的平行关系为知识载体以探索作图的可能性为数学任务依托判断、说理等数学思维活动说明逻辑推理素养水平一、水平二的表现体会满意原则和加分原则。【情境】如图在四棱锥PABCD的底面ABCD中AB∥DC。回答下面的问题:()在侧面PAB内能否作一条直线段使其与DC平行?如果能请写出作图过程并给出证明如果不能请说明理由。()在侧面PBC中能否作出一条直线段使其与AD平行如果能请写出作图的过程并给出证明如果不能请说明理由。图四棱锥示意图【分析】直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直等位置关系是高中立体几何内容的重点也是教学的难点。设计开放性问题让学生在运用与平行和垂直的相关定理进行判断、说理的活动过程中提升直观想象和逻辑推理素养通过这样的活动也可以对学生达到的相应素养水平进行评价。()能作出平行线。具体作法是在侧面PAB内作AB的平行线因为AB与DC平行依据平行公理这条平行线也必然平行于DC。完成这个过程说明学生知道在平面内作与平面外直线平行的直线需要寻求平面外直线与这个平面之间的关联依据满意原则可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求。()需要分别判断。如果AD与BC平行可以参照()的方法作出平行线。如果AD与BC不平行不能作出平行线。用反证法进行说理如下:假设侧面PBC内存直线与AD平行可推证AD与侧面PBC平行依据性质定理可推证AD与BC平行这与条件矛盾。完成这个过程说明学生能够理解直线与平面平行的相关定理以及定理之间的逻辑关系依据满意原则可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求。案例覆盖问题【目的】以平面几何为知识载体以证明“周长一定的四边形中正方形所围面积最大”为数学任务说明逻辑推理素养水平一、水平二、水平三和数学抽象素养水平一、水平二的表现体会满意原则和加分原则。【情境】设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线周长是L。回答下面的问题:()当封闭曲线为平行四边形时用直径为L的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形请说明理由。()求证:当封闭曲线是四边形时正方形的面积最大。【分析】虽然问题涉及的知识不难但由于问题中的封闭曲线是动态的、问题是开放的因此需要一定的数学抽象和逻辑推理素养才可能抓住问题的本质。如果学生能够构建过渡性命题、完成概念的抽象过程并且论证途径清晰、推理过程表述严谨可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。()首先需要从生活语言到数学语言表达清楚什么是完全覆盖。最初的生活语言可以是周长为L的平行四边形包含的点都在直径为L的圆面内显然这个层面的表达是无法进行论证的用数学语言可以表述为周长为L的平行四边形内的任意一点到圆心的距离不大于可是这样的表述又脱离了完全覆盖的背景因此需要在表述中加上条件例如让平行四边形的对称中心与圆的圆心重合。鼓励学生回顾并表述上面的思维过程。如果学生能够完成前两个过程根据满意原则可以认为达到数学抽象素养水平一的要求如果学生能够完成三个过程根据加分原则可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。如果学生能够得到可以完全覆盖的结论但只是证明了平行四边形对角线的长度不大于L说明学生已经有了论证的思路但还没有理解完全覆盖的几何本质依据满意原则可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求。如果学生进一步证明平行四边形四个顶点到对称中心距离不大于圆的半径但没有说明平行四边形内其他点的情况说明学生理解了完全覆盖的几何本质但证明过程还不够严谨依据满意原则可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求。如果学生能够完整证明平行四边形上的点到对称中心距离部不大于圆的半径说明学生基本掌握了数学证明依据加分原则可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。()可以启发学生采用列举、筛选的方法考察各种形式的四边形逐一排除面积较小的四边形构建一个递进式的证明路径如图所示。图探索证明路径如果学生能够独立完成上面的过程说明对较复杂的新问题能够直观想象、创造性地构建证明路径依据满意原则可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求如果学生能够进一步用数学语言严谨地论证所得到的结论根据加分原则可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。案例鞋号问题【目的】在寻求变量简单变化规律的过程中说明数学建模素养的表现和水平体会评价过程中的满意原则和加分原则。【情境】网上购鞋常常看到下面的表格(表)。表脚长与鞋号对应表脚长鞋号请解决下面的问题:()找出满足表中对应规律的计算公式通过实际脚长a计算出鞋号b()根据计算公式计算号童鞋所对应的脚长是多少()如果一个篮球运动员的脚长为mm根据计算公式他该穿多大号的鞋【分析】数学建模素养的一个基本表现就是能够针对具体的数据选择合适的函数表达数量之间的关系解决实际问题。在这样的活动中可以体现数学建模素养不同水平的表现。()可以把表中的两行数据看成两个数列分别为和。仔细观察可以知道这两个数列分别满足下面的递推关系:,,b=。由此得到=n和=n于是有=。如果学生能够找到并且准确表达脚长与鞋号之间的线性关系根据满意原则可以认为达到数学建模素养水平一的要求。进一步将脚长和对应的鞋号记作(ab)在平面直角坐标系中描点观察到线性关系然后建立关系式。这说明学生能够借助图形直观发现变化规律并且能够用函数清晰表达变化规律根据加分原则可以加分。如果学生构建数据表利用计算工具的电子表格作出散点图选择几种函数模型进行拟合对比拟合结果发现线性函数的拟合效果最好相关系数为进而确定计算公式是一个线性模型最后确定模型中的参数如图所示。根据加分原则可以针对“善于使用计算工具”加分。图计算机模拟示意图()令b=代入公式得a=脚的长度为mm。虽然计算过程是套用已知结果但由b求a涉及到简单的反函数可以认为达到数学建模素养水平二的要求。()当a=时代入公式得b=。分两种情况:如果简单地进行“舍入”选号鞋或者直接选号鞋依然可以认为达到数学建模素养水平二的要求。如果知道作出的结论要符合实际提出穿鞋要“不挤脚”因此选号鞋或者提出要考虑脚型、鞋型根据解答情况可以加分。案例 包装彩绳【目的】在把实际问题转化为数学问题的过程中说明数学建模素养不同水平的表现体会评价的满意原则和加分原则。【情境】春节期间佳怡去探望奶奶她到商店买了一盒点心为了美观起见售货员对点心盒做了一个捆扎(如图())并在角上配了一个花结售货员说这样的捆扎不仅漂亮而且比一般的十字捆扎方式(如图())包装更节省彩绳。你同意这种说法吗?请给出你的理由。(注:长方体点心盒的高小于长、宽)图点心盒的两种包装【分析】在数学建模的过程中常常要把实际问题数学化。特别是需要借助几何直观才能论证的问题这通常是学生数学建模的难点。因此对于这样一类问题难点处理的差异能够反映数学建模素养的不同水平。如果学生能够结合几个具体的长方体盒子通过捆扎操作、测量比较的方法得到针对这几个盒子的结论并且能够通过归纳提出一般长方体盒子下的猜想即使不能给出证明根据满意原则也可以认为达到数学建模水平一的要求。如果学生能够用字母表示各段绳长将长方体盒子平面展开把问题转化为平面上的折线长度的比较把“扎紧”的表述转化为两点间直线段最后得出一般性的结论可以认为达到数学建模水平二的要求。如果不考虑花结用绳或者认为两种捆扎方法中花结的用绳长度相同一个推理过程的返利可以表述如下设长方体点心盒子的长、宽、高分别为xyz依据图()的捆扎方式把彩绳的长度记作l因为长方体的每个面上的那一段绳都与相交的棱垂直所以。依据图()的捆扎方式可以想象将长方体盒子展开在一个平面上则彩绳的平面展开图是一条由A到A的折线在“扎紧”的情况下彩绳的平面展开图是一条由A到A的线段记为A′A″(如图)这时用绳最短绳长记作m则在△A′BA″中由三角形中两边之和大于第三边得即因此图()所示的捆扎方式节省材料。图长方体盒子的平面展开示意图如果学生能够完成以上工作可以认为达到数学建模水平二的要求。如果思路清晰、表达准确还可以适当加分。案例 体重与脉搏【目的】在构建“比例模型”解决实际问题的过程中给出数学建模素养水平二、水平三的表现体会评价的满意原则和加分原则。【情境】生物学家认为睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量主要是为了保持体温。研究表明消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比并且根据生物学常识知道动物的体重与体积成正比。表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据。表一些动物的体重和脉搏率回答下面的问题:()请你根据生物学常识给出血流量与体重之间关系的数学模型。()从表可以看到体重越轻的动物脉搏率越高。请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系建立脉搏率与体重关系的数学模型。()根据表作出动物的体重和脉搏率的散点图验证建立的数学模型。【分析】为了建立数学模型需要进一步理解一些生物学概念例如血流量Q是单位时间流过的血量脉搏率是单位时间心跳的次数还需要进一步知道一些生物学假设例如心脏每次收缩挤压出来的血量与心脏大小成正比动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比。因为数学建模只用到“比例分析”因此在知识层面上学生困难不大但学生通常对比例模型的分析思路比较陌生同时这个数学活动体现了跨学科的应用因此如果能很好地解决问题可以认为达到数学建模素养水平二、甚至水平三的要求。例如下面的建模过程()因为动物体温通过身体表面散发热量表面积越大散发的热量越多保持体温需要的能量也就越大所以动物体内消耗的能量E与审题表面积S成正比可以表示为。又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比可以表示为,因此得到其中和均为正的比例系数。另一方面因为体积V与体重W成正比可以表示为又因为表面积大约与体积的次方成正比可以表示为因此得到其中和均为正的比例系数。所以可以构建血流量与体重关系的数学模型其中为正的比例系数。根据脉搏的定义再根据生物学假设(为正的比例系数)最后得到也就是其中为正的待定系数。()脉搏率与体重关系的数学模型说明恒温动物体重越大脉搏率越低脉搏率与体重的次方成反比。表中的数据基本上反映了这个反比例的关系。()图是原始数据的散点图图是以和为坐标的散点图。可以看出数据取对数之后基本满足线性关系因此得到体重和脉搏率的对数线性模型可以把这个模型表达为。图脉搏率与体重W的散点图图与的散点图如果学生在上述分析过程中思路清晰、表达准确可以认为达到数学建模素养水平三的于鏊求如果在分析或者论证过程中还有一些创意例如对脉搏率与体重关系的模型两边取对数形成对数线性模型能够用相关系数进行线性相关性判断能够用方差分析方法建议模型的是适合程度等则根据加分原则可以进行相应加分。因为这个问题的分析线索比较长学生在建模求解的过程中可能会得到一些有价值的中间结论或者有些学生最终也不能把整个过程进行到底甚至有些学生不经过任何分析就给出拟合函数(如图所示)。这些情况都是数学建模和数据分析素养水平达成程度的表现可以适度加分或者扣分。图案例 估算地球周长【目的】说明直观想象素养水平的表现和水平体会评价“在现实情境中建立实物的几何图形能够根据图形想象实物”的满意原则和加分原则。【情境】古希腊地理学家埃拉托色尼(Eratosthenes前前)用下面的方法估算地球的周长(即赤道周长)。他从书中得知位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼(现在的阿斯旺在北回归线上)夏至那天正午立杆无影同样在夏至那天他所在的城市埃及北部的亚历山大城立杆可测得日影角大约为(如图)埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的并且因为太阳距离地球很远(现代科学观察得知太阳光到达地球表面需要s光速kms)太阳光平行照射在地球上。根据平面几何知识平行线内错角相等因此日影角与两地对应的地心角相等他又派人测得两地距离大约希腊里约合km因为大约为的倍于是他估算地球周长约为(km)这与地球实际周长km相差无几()试画出平面示意图()试由埃拉托色尼的估算结果给出你的推理过程。图估算地球周长示意图【分析】如果学生能够画出基本合理的草图可以认为达到直观想象素养水平一的要求能够画出清晰合理的示意图可以认为达到直观想象素养水平二的要求本题也考查逻辑推理等素养。例如下面的分析过程。()如图记塞伊尼为点A亚历山大城为点B。在两个点处太阳光平行因为内错角相等得到对应的地心角为的长度为km。()用的长乘可以近似得到地球周长。案例 影子问题【目的】说明直观想象素养的表现和水平体会满意原则和加分原则。【情境】如图广场上有一盏路灯挂在高m的电线杆上记电线杆的底部为A。把路灯看作一个点光源身高m的女孩站在离点Am的点B处。回答下面的问题:()若女孩以m为半径绕着电线杆走一个圆圈人影扫过的是什么图形求这个图形的面积()若女孩向点A前行m到达点D然后从点D出发沿着以BD为对角线的正方形走一圈画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹说明轨迹的形状。【分析】回顾课程标准中相关内容的要求:从空间几何体的整体观察入手认识空间图形。如果学生能够在问题()中回答出人影扫过的图形是环形或者在问题()的解答中提到棱锥可以认为达到直观想象素养水平二的要求。如果学生能够清晰准确地回答两个问题可以认为达到直观想象素养水平三的要求。例如下面的回答。()如图所示S为路灯位置C为女孩头顶部女孩的影子为线段BP。女孩绕着电线杆走一个圆圈人影扫过的是一个环形。已知SA=mAB=mBC=m。设BP=x则由BC∥SA得即解得x=。因此环形面积为π(APAB)=(x)=≈(m)。()如图女孩头顶运动的轨迹是以CE为对角线的正方形(CE与BD平行且相等)且该正方形平行于地面则在点光源S的投射下投影应与原图形相似因此女孩头顶影子的轨迹也是一个正方形。【拓展】如果这个女孩绕一个边长为m的正六边形走一圈那么人影扫过的图形是什么?人影扫过的面积是多少?案例 圆柱体截面问题【目的】说明直观想象素养的表现和水平体会满意原则和加分原则。【情境】在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水。()将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时指出圆柱桶内的水平面可能呈现出的所有几何形状画出直观示意图。()参考图对上述结论给出证明。【分析】回顾课程标准中相关内容要求“利用实物、计算机软件等观察空间图形认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。”如果学生能够比较完整地回答()的第一个问题可以认为达到直观想象素养水平一的要求能比较完整地回答()的第二个问题可以认为达到直观想象素养水平二的要求能比较完整地回答()的问题可以认为达到直观想象素养水平三的要求。此题也考查逻辑推理等素养。例如下面的回答。()圆柱桶竖直放置时水平面为圆面水平放置时水平面为矩形面倾斜放置时水平面为椭圆面或者部分椭圆面。可能呈现的所有类型的几何图形如图所示。()圆柱桶竖直放置时水平面相当于平行于底面的截面因此水平面是圆面。圆柱桶水平放置时水平面与圆柱侧面的两条交线是圆柱的母线它们平行且相等且垂直于水平面与圆柱底面的两条交线所以水平面是矩形面。圆柱桶倾斜放置时水平面相当于用平面斜截圆柱时所得到的截面。如图所示上下两球与截面和圆柱侧面均相切两球面与圆柱侧面分别相切于以BCDE为直径且平行于圆柱底面的大圆O和O两球面与斜截面分别相切于点F和F′斜截面与BDCE分别交于点A和A′P为所得截面边缘上一点(即斜截面与圆柱侧面交线上一点)。设过点P的圆柱的母线与圆O和O分别交于点M和N则PM和PN分别是两球面的一条切线。由于PM和PF是同一个球面的切线故PM=PF同理PN=PF'于是有PFPF'=PMPN=MN为定值即点P到F和F'距离之和为定值所以这时的截面是椭圆面。案例 过河问题【目的】以平面向量的运算为知识载体以确定游船的航向、航程为数学任务借助理解运算对象、运用运算法则、探索运算思路、设计运算程序、实施运算过程等一系列数学思维活动说明数学运算素养水平一、水平二和水平三的表现体会满意原则和加分原则。【情境】长江某地南北两岸平行。如图所示江面宽度d=km一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸。假设游船在静水中的航行速度v的大小为|v|=kmh水流的速度v的大小为|v|=kmh.设v和v的夹角为θ(<θ<°)北岸的点A′在A的正北方向。回答下面的问题:()当θ=°时判断游船航行到达北岸的位置在A′的左侧还是右侧并说明理由。()当cosθ多大时游船能到达A′处?需要航行多长时间?【分析】回答这个问题需要几何直观下的代数运算。()首先要知道游船航行速度是静水速度与水流速度之和然后会按比例画示意图判断航行方向。如果学生能够用向量加法的平行四边形法则画出示意图、并给出合理解释根据满意原则可以认为达到数学运算素养水平一的要求。如果学生把航行速度即速度之和表示为v可以通过计算航行速度向量v与水流速度向量v之间的夹角进行判断由判断游船到达的位置在A'的左侧。说明学生不仅能够理解向量的加法还能够根据题意运用向量数量积运算求解向量之间的夹角根据加分原则可以认为达到数学运算素养水平二的要求。()首先要将“游船能到达A'处”抽象为游船的实际航向与河岸垂直即游船的静水速度和水流速度的合速度方向与相同将合速度运算与平面向量的加法运算联系起来画出速度合成示意图(如图)。根据满意原则学生能够面出向量加法示意图可以认为达到数学运算素养水平一的要求。通过解三角形求得cosθ值为通过|v|=|v|sinθ=得到航行时间h。说明学生能够将题目中提供的数据信息与几何图形有机联系并且能够明晰运算途径、得到运算结果根据加分原则可以认为达到数学运算素养水平二的要求。进一步地如果学生能够通过直角三角形计算出cosθ=由勾股定通通过(t)(t)=解得t=h。说明学生能够运用勾股定理建立方程求解根据加分原则可以认为达到数学运算素养水平三的要求。【拓展】在本题背景下可以设计数学运算素养拓展问题例如当θ=°时游船航行到北岸的实际航程是多少为了回答这个问题可以先依据题意画出向量加法的示意图如图所示然后利用向量数量积运算求得|tv|=t(vv)=t(×××cos°)=t。在Rt△AA'C中因为t|v|cos°=从而t=所以AB=km。如果学生能够完成这个过程说明学生能够综合运用向量的加法、数乘、数量积运算和勾股定理恰到好处地设计运算程序、完成问题求解根据加分原测可以在数学运算素养水平三的基础上加分。案例隧道长度【目的】以解三角形为知识载体以隧道测量为数学任务借助明确运算对象、探索运算思路、设计运算程序、实施运算等一系列数学思维活动说明数学运算素养的水平一和水平二的表现体会满意原则。【情境】如图所示ABC为山脚两侧共线的三点在山顶P处测得三点的俯角分别为αβγ。计划沿直线AC开通穿山隧道为求出隧道DE的长度你认为还需要直接测量出ADEBBC中的哪些线段的长度?根据条件并把你认为需要测量的线段长度作为已知量写出计算隧道DE长度的运算步骤。【分析】由已经测料的三个角αβγ依据平面几何知识可以知道△PAB△PBC的三个内角已经确定进而形状已经确定因此还需要通过确定三角形的边长来确定三角形的大小。进一步为了能够计算隧道DE的长度由解三角形的知识可以推断出还需要确定所有线段ADEBBC的长度。首先在△PBC中进行运算依据正弦定理写出BC与PB(或PC)之间的等量关系式表达出PB(或PC)。如果学生能够完成这个步骤说明学生已经熟悉常规的解三角形问题及其解法根据满意原则可以认为达到数学运算素养水平一的要求。如果学生能够继续在△PAB(或△PAC)中由正弦定理写出PB与AB(或PC与AC)之间的等量关系式用已知角度αβγ和测量得的线段ADEBBC长度正确写出线段DE长度的表达式说明学生能够清晰表达图中多个三角形之间的关系并且能够探索出运算程序、正确实施根据满意原则可以认为达到数学运算素养水平二的要求。案例迭代计算问题【目的】迭代方法县现代计算教学的基本方法。借助用“牛顿切线法”和“二分法”求一元二次方程解的问题考查理解运算对象、把握运算规律、表达运算过程、设计运算程序等一系列数学运算的思维活动说明数学运算素养水平三的表现体会满意原则和加分原则。【情境】研究一元二次方程xx=的求解问题这是经典的求黄金分割的方程式。令f(x)=xx对抛物线y=f(x)持续实施下面“牛顿切线法”的步骤:在点()处作抛物线的切线交x轴于(x)在点(xf(x))处作抛物线的切线交x轴于点(x)在点(xf(x))处作抛物线的切线交x轴于点(x)……得到一个数列{xn}。回答下列问题:()求x的值()设xn=g(xn)求g(xn)的解析式()用“二分法”求方程的近似解给出前四步结果。比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度。【分析】在数值计算中“牛顿切线法”和“二分法”是最为常用的两种方法。()求出抛物线在点()处切线方程y=f'()(x)得到y=x。令y=得到x=。如果完成这个步骤说明学生能够正确运用求导运算得到抛物线的切线方程理解切线与x轴交点横坐标是所要求的运算对象根据满意原则可以认为达到数学运算素养水平一的要求()求出抛物线在点(xnf(xn))处的切线方程y=(xn)(xxn)(xn)。说明学生能够一般性地理解运算对象并能够正确地予以数学表达根据满意规则可以认为达到数学运算素养水平二的要求。令y=得到xn=进而g(xn)=。如果完成这个步骤说明学生能够很好地理解选代运算并且能够正确地运用代数式予以表达根据满意原则可以认为达到数学运算素养水平三的要求。()用求根公式可以得到一元二次方程的正根为近似解为就是著名的黄金分制数。用“二分法”求方程近似解的前四步为:因为f()=f()=所以f(x)在区间()内至少有一个零点因为f()=所以f(x)在区间()内至少有一个零点因为f()=所以f(x)在区间()内至少有一个零点因为f()=所以f(x)在区阀()内至少有一个零点。可以看到用“二分法”计算前四步得到近似解为同样从x=出发用“牛级切线法”解析式可求得第二步和第三步的近似解分别为x≈x≈比较“牛顿切线法”与“二分法”前几步的结果可以看到“牛顿切线法”要比“二分法”快得多。如果学生完成这个步骤根据加分原则可以在数学运算素养水平三的基础上加分。【拓展】对于函数f(x)=xx由f()<和f()>可知函数在()内至少有一个零点设该零点为x。若x<x求证x<g(xn)<xn。案例估计考生总数【目的】分别说明数学建模素养和数据分析素养水平一、水平二的表现体会评价的满意原则和加分原则。【情境】某大学美术系平面设计专业的报考人数连创新高今年报名刚结束某考生想知道报考人数。考生的考号按…的顺序从小到大依次排列。这位考生随机地了解了个考生的考号具体如下:请给出一种方法根据这个随机抽取的考号帮助这位考生估计考生总数。【分析】用样本空间的数字特征估计总体的数字特征或性质是统计建模的基本思想和基本手法既可以表现数学建模素养水平也可以表现数据分析素养水平。如果学生给出的方法体现了用样本估计总体的思想并且述说的理由合理即使表述得不完整、不清楚、不到位根据满意原则都可以认为达到数据分析素养水平一的要求。例如用给出数据的最大值(与对应)估计考生总数用数据的最大值与最小值的和(=)估计考生总数借助数据中的部分数据的信息(如平均值、中位数等)估计考生的总数等等。如果学生能够理解数据分析的思想过程述说比较清楚数学表达比较到位可以认为达到数据分析素养水平二的要求。例如:设考生总数为N即N是最大考号。方法一随机抽取的个数的平均值应该和所有考号的平均值接近即用祥本的平均值估计总体的平均值。这个数的算术平均值是÷=它应该与接近。因此估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为N≈×≈(人)。类似地可以通过样本中位数得到N的估计。方法二把这个数据从小到大排列这个数把区间N分成个小区间。由于N未知除了最右边的区间外其他区间都是已知的。可以利用这些区间长度来估计N。由于这个数是随机抽取的一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于N长的并且可以用前个区间的平均长度近似代替这个区间的长度。因为这个区间长度的和恰好是这个数中的最大值因此得到。因为这是一道开放题允许有不同的答案。只要学生能够对自己提出的方法给出合理的解释可以认为达到相应水平的要求。案例函数单调性主题教学设计【目的】说明如何进行跨章节的主题教学没计。【情境】函数单调性是函数的重要性质之一,不仅与函数概念、函数的其他性质有关,也与基本初等函数、不等式、数列、导数等内容有关,在表述过程中还与常用逻辑用语中的量词有关。所以函数单调性可以作为跨章节的主题进行整体教学设计。【分析】一来说,主题教学的整体设计可分为前期准备、开发设计、评价修改三个阶段,具体可以包括以下几个步骤,如图所示。()确定主题内容()分析教学要素()编制主题教学目标()设计主题教学流程()评价、反思及修改。作为案例,下面给出教学设计的具体方法。为了确定主题内容,下面的两种策略可供选择。一是以函数单调性知识的前后逻辑为线索。例如,借助初等函数的图象直观理解函数单调性的合义、感悟函数的整体单调和部分区间单调通过代数求解(特别关注最大(小)值和拐点),验证函数的单调性以及单调性与自变量变化区间的关系用导函数进一步刻画函数的单调性把握画数单调性的本质是变化趋势。以知识的逻辑联系为线索组织内容学生可以对函数单调性的认识逐渐深刻、表达逐渐清晰。二是以函数的其他性质为线索。例如考察初等函数的单调性与对称性、周期性、最大(小)值之间的关系分析这几个性质的共性与差异。以函数的其他性质为线索组织内容学生可以通过比较函数的性质进一步加深对函数概念的理解体会正是因为不同函数具有不同性质才使得函数成为表达现实世界规律的丰富的数学语言。无论采取哪种策略组织内容在教学设计中都要关注数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养水平的提升。分析教学要素是确定主题教学目标的前提是主题教学设计的重点环节。教学要素分析主要包括以下方面:数学内容分析、课程标准分析、学情分析、教材分析、重难点分析以及教学方式分析。其体分析内容如表所示。表教学要素分析的内容要素内容教学内容分析本主题内容的数学本质、数学文化以及所渗透的数学思想等本主题内容在本学段数学课程中的地位本主题内容在整个中小学数学课程中的地位和作用本主题内容在数学整体中的地位本主题内容与本学段、前后学段以及大学其他知识之间的联系。课程标准分析课程标准中对本主题内容的要求课程标准中对本主题内不同内容要求的关联。学情分析,学生学习新知识的预备状态学生对即将要学习的内容是否有所涉猎学生学习新知识的情感态度学生的学习方法、习惯以及风格。教材分析比校不同版本教材的对本主题内容在概念引入、情境创设、例题习题的编排方式等方面的异同,分析各自的特点根据学情选择适当的内容及其处理方式。重难点分析主题整体教学重难点具体课时重难点。教学方式分析从主题整体角度出发,选择合适的教学方式(体现学生的主体性)。编制主题教学目标和设计教学流程。因为是主题教学设计教学内容将涉及若干节、甚至涉及若干章因此在教学实施的过程中可以划分为几个不同的阶段。例如如果内容选取采用以函数单调性知识的前后逻辑为线索其教学实施过程可分为以下几个阶段:第一阶段从图形语言到符号语言的过渡让学生感悟从直观想象到数学表达的抽象的过程感悟常用逻辑用语中的量词与数学严谨性的关系第二阶段结合对几种初等函数单调性的研究理解用代数方法证明函数单调性的基本思路与论证方式增强逻辑推理和数学运算能力第三阶段利用导函数一般性地研究函数的单调性感悟导数是研究函数性质强有力的工具理解函数单调性的本质第四阶段通过利用函数单调性刻画现实问题的若干实例分析理解为什么函数可以成为构建数学模型的有效的数学语言从而理解研究函数的单调性不仅仅是为了数学本身的需要也是为了更好地表达现实世界的需要。案例“互联网”促进高中生数学学科核心素养发展的路径【目的】阐述“互联网数学教育”背景下教学、学习、评价一体化的实践体会“互联网十数学教育”对教学带来的变革感受在“互联网”、大数据的支持下数学教学由知识教学向核心素养教学转化的路径实现课堂教学的精准化、高效化、个性化提高学生数学学习的实际获得感。【分析】在有条件的地区或学校可以借助“互联网”、大数据等现代信息技术优化学科教育生态。采用“互联网数学教育”的思路破解数学课堂模式化培养与个性化学习之间的矛盾在教学中落实数学学科核心素养。“互联网教育”的关键因素之一是用好在线教育平台改善教师教学方式促进学生线上线下(OO)融合学习使得学习更加丰富多彩、生动有趣实线教学的精准化和个性化。学生、教师角色的在线平台界面如图所示。图教师界面依据课程标准中数学学科核心素养内涵与水平划分实线数学教学、学习、评价一体化(如图)这是支撑测评和教学改进的关键。【情境】数学学习的个性化评价反馈系统【分析】根据课程标准“除了考查全班学生在数学学科核心素养上的整体发展水平外更需要根据学生个体的发展水平和特征进行个性化的反馈”的要求在线测评可以实现学生学习的精准化、个性化诊断(如图)。通过采集学生学习过程的大数据可视化呈现学生数学学科核心素养基于数据的学情分析让学生更加精准地了解自己的学习问题和学科优势。图学生个性化诊断报告示例课程标准要求“重视评价的整体性与阶段性”。在线测评不仅实现了学生的个性化诊断反馈而且同时兼顾了评价的整体性与阶段性。整体性评价以学段、学年、学期为时间单位测量学生的数学学科核心素养发展水平。阶段性评价以知识单元为单位测量每个知识单元的个体学习状况。测评数据的积累反映了学生数学学科核心素养发展的成长过程(如图)。客观题的自动批阅为教师教学带来了便利提高了效率。未来人工智能技术的发展将会实现主观题的自动识别和批阅(如图)。宏、微结合的整体性和阶段性测量诊断实现了学生数学学科核心素养水平诊断的精准化(如图)。通过期中、期末考试诊断出学生某个知识单元学习存在问题之后。进一步进行知识单元诊断精准发现学习问题。【情境】基于精准诊断的个性化学习支持系统【分析】由于学生数学学习问题的诊断落实到了核心素养水平,所以,可以按照核心素养水平智能推荐对应的微课程也可以智能推荐在线教师(如图),学生在学习过程中连线,教师在线答疑(如图)。推荐的微课程可以分“问题改进型”“优势增强型”等不同类型,以服务不同核心素养水平学生学习的需要。【情境】基于精准诊断的教学支持系统【分析】在“互联网数学教育”中,在线教育平台上丰富的教学资源,为教学提供大量不同核心素养水平的教学素材,教师可参考创设教学问题情境。信息技术全程融合应用教学,有多种教学模式可供选择。可以采用翻转课堂教学模式,也可以采用其他的教学模式。教师在课前利用网络平台,发布学习任务。学生通过微课程学习,网络社区互动,自我测验等环节,解决部分学习任务。通过在线教育平台中学生学习的数据报告,汇聚共性问题,线下课堂中采用合作探究等方式解决问题,课后利用在线平台以作业形式检测学习效果,确保学习的针对性和高效率,优化教学。在具备信息技术条件的学校,教师还可以充分利用在线平台开展其他类型的、丰富多彩的教学活动,不断探索创新改进教学方式。年版《普通高中课程标准》数学解读专题下载链接:http:jpzxxkcomahtml链接打开方法:按住ctrl键单击链接即可打开专题链接复制链接到网页unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknow

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