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      首页 第5讲 椭 圆

      第5讲 椭 圆.doc

      第5讲 椭 圆

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《第5讲 椭 圆doc》,可适用于考试题库领域

      第讲 椭 圆学生用书P.椭圆的定义条件结论结论平面内的动点M与平面内的两个定点FFM点的轨迹为椭圆F、F为椭圆的焦点|MF|+|MF|=a|FF|为椭圆的焦距a>|FF|椭圆的标准方程和几何性质标准方程eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)eqf(y,a)+eqf(x,b)=(a>b>)图形续 表标准方程eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)eqf(y,a)+eqf(x,b)=(a>b>)性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:()顶点A(-a)A(a)B(-b)B(b)A(-a)A(a)B(-b)B(b)轴长轴AA的长为a短轴BB的长为b焦距|FF|=c离心率e=eqf(c,a)e∈()abc的关系c=a-b判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)()平面内两个定点FF的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(  )()椭圆上一点P与两焦点FF构成△PFF的周长为a+c(其中a为椭圆的长半轴长c为椭圆的半焦距).(  )()椭圆的离心率e越大椭圆就越圆.(  )()方程mx+ny=(m>n>m≠n)表示的曲线是椭圆.(  )()eqf(y,a)+eqf(x,b)=(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.(  )()eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)与eqf(y,a)+eqf(x,b)=(a>b>)的焦距相等.(  )答案:()× ()√ ()× ()√ ()× ()√已知椭圆eqf(x,)+eqf(y,m)=(m>)的左焦点为F(-)则m=(  )A.         BC.D.解析:选B依题意有-m=因为m>所以m=选B(教材习题改编)椭圆C的一个焦点为F()并且经过点P(eqf(,))的椭圆的标准方程为(  )Aeqf(x,)+eqf(y,)=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)+eqf(y,)=D.eqf(y,)+eqf(x,)=解析:选D由题意可设椭圆C的标准方程为eqf(y,a)+eqf(x,b)=(a>b>)且另一个焦点为F(-)所以a=|PF|+|PF|=eqr(blc(rc)(avsalco(f(,)))sup()+(-))+eqr(blc(rc)(avsalco(f(,)))sup()+(+))=所以a=又c=所以b=a-c=故所求的椭圆方程为eqf(y,)+eqf(x,)=故选D(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的倍则C的离心率为(  )Aeqf(r(),)Beqf(r(),)Ceqf(r(),)D.eqf(r(),)解析:选D不妨设椭圆C的方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)则a=b×即a=b所以a=b=(a-c).即eqf(c,a)=eqf(,)所以e=eqf(c,a)=eqf(r(),)故选D若方程eqf(x,-k)+eqf(y,k-)=表示椭圆则k的取值范围是.解析:由已知得eqblc{(avsalco(-k>,k->,-k≠k-))解得<k<且k≠答案:()∪()(教材习题改编)椭圆C:eqf(x,)+eqf(y,)=的左右焦点分别为FF过F的直线交椭圆C于AB两点则△FAB的周长为.解析:△FAB的周长为|FA|+|FB|+|AB|=|FA|+|FA|+|FB|+|FB|=a+a=a在椭圆eqf(x,)+eqf(y,)=中a=a=所以△FAB的周长为a=答案:      椭圆的定义及应用(高频考点)学生用书P椭圆的定义是每年高考的重点题型既有选择、填空题也有时出现在解答题的已知条件中.主要命题角度有:()利用定义求轨迹方程()利用定义解决“焦点三角形”问题.典例引领角度一 利用定义求轨迹方程()如图圆O的半径为定长rA是圆O内一个定点P是圆上任意一点线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q当点P在圆上运动时点Q的轨迹是(  )A.椭圆        B双曲线C.抛物线D.圆()已知两圆C:(x-)+y=C:(x+)+y=动圆在圆C内部且和圆C相内切和圆C相外切则动圆圆心M的轨迹方程为(  )Aeqf(x,)-eqf(y,)=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)-eqf(y,)=D.eqf(x,)+eqf(y,)=【解析】 ()连接QA由已知得|QA|=|QP|所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r又因为点A在圆内所以|OA|<|OP|根据椭圆的定义点Q的轨迹是以OA为焦点r为长轴长的椭圆.故选A()设圆M的半径为r则|MC|+|MC|=(-r)+(+r)=>=|CC|所以M的轨迹是以CC为焦点的椭圆且a=c=故所求的轨迹方程为eqf(x,)+eqf(y,)=【答案】 ()A ()D角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题已知F、F是椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的两个焦点P为椭圆C上的一点且eqo(PF,sup(→))⊥eqo(PF,sup(→))若△PFF的面积为则b=.【解析】 设|PF|=r|PF|=r则,)eqblc{(avsalco(r+r=a,r+reqoal(,)=c))所以rr=(r+r)-(reqoal(,)+reqoal(,))=a-c=b又因为S△PFF=eqf(,)rr=b=所以b=【答案】 在本例中增加条件“△PFF的周长为”其他条件不变求该椭圆的方程.解:由原题得b=a-c=又a+c=所以a-c=解得a=故椭圆的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=在本例中的条件“eqo(PF,sup(→))⊥eqo(PF,sup(→))”“△PFF的面积为”分别改为“∠FPF=°”“S△PFF=eqr()”结果如何?解:|PF|+|PF|=a又∠FPF=°所以|PF|+|PF|-|PF||PF|cos°=|FF|即(|PF|+|PF|)-|PF||PF|=c所以|PF||PF|=a-c=b所以|PF||PF|=eqf(,)b又因为S△PFF=eqf(,)|PF||PF|·sin°=eqf(,)×eqf(,)b×eqf(r(),)=eqf(r(),)b=eqr()所以b=eqavsal()椭圆定义的应用()椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.()椭圆的定义式必须满足a>|FF|通关练习.设P是椭圆eqf(x,)+eqf(y,)=上一点MN分别是两圆:(x+)+y=和(x-)+y=上的点则|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为(  )A.        BC.D.解析:选C如图由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点由椭圆定义知|PA|+|PB|=a=连接PAPB分别与圆相交于MN两点此时|PM|+|PN|最小最小值为|PA|+|PB|-R=连接PAPB并延长分别与圆相交于MN两点此时|PM|+|PN|最大最大值为|PA|+|PB|+R=即最小值和最大值分别为.已知椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右焦点分别为FF离心率为eqf(r(),)过F的直线l交C于AB两点.若△AFB的周长为eqr()则C的方程为(  )Aeqf(x,)+eqf(y,)=Beqf(x,)+y=Ceqf(x,)+eqf(y,)=D.eqf(x,)+eqf(y,)=解析:选A由题意及椭圆的定义知a=eqr()则a=eqr()又eqf(c,a)=eqf(c,r())=eqf(r(),)所以c=所以b=所以C的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=选A      椭圆的标准方程学生用书P典例引领()若直线x-y+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点则该椭圆的标准方程为(  )Aeqf(x,)+y=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)+y=或eqf(x,)+eqf(y,)=D.以上答案都不对()一个椭圆的中心在原点焦点FF在x轴上P(eqr())是椭圆上一点且|PF||FF||PF|成等差数列则椭圆的方程为(  )Aeqf(x,)+eqf(y,)=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)+eqf(y,)=D.eqf(x,)+eqf(y,)=【解析】 ()直线与坐标轴的交点为()(-)由题意知当焦点在x轴上时c=b=所以a=所求椭圆的标准方程为eqf(x,)+y=当焦点在y轴上时b=c=所以a=所求椭圆的标准方程为eqf(y,)+eqf(x,)=()设椭圆的标准方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>).由点P(eqr())在椭圆上知eqf(,a)+eqf(,b)=又|PF||FF||PF|成等差数列则|PF|+|PF|=|FF|即a=·ceqf(c,a)=eqf(,)又c=a-b联立得a=b=【答案】 ()C ()Aeqavsal()求椭圆标准方程的种常用方法定义法根据椭圆的定义确定ab的值结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确则可设出椭圆的标准方程结合已知条件求出a、b若焦点位置不明确则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论也可设椭圆的方程为Ax+By=(A>B>A≠B)通关练习.已知FF分别是椭圆E:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右焦点点eqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))在椭圆上且点(-)到直线PF的距离为eqf(r(),)其中点P(--)则椭圆E的标准方程为(  )A.x+eqf(y,)=Beqf(x,)+y=C.x+eqf(y,)=D.eqf(x,)+y=解析:选D设F的坐标为(c)(c>)则kPF=eqf(,c+)故直线PF的方程为y=eqf(,c+)(x-c)即eqf(,c+)x-y-eqf(c,c+)=点(-)到直线PF的距离d=eqf(|-f(,c+)-f(c,c+)|,r(blc(rc)(avsalco(f(,c+)))sup()+))=eqf(,r(blc(rc)(avsalco(f(,c+)))sup()+))=eqf(r(),)即eqblc(rc)(avsalco(f(,c+)))eqsup()=解得c=或c=-(舍去)所以a-b=①又点eqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))在椭圆E上所以eqf(,a)+eqf(f(,),b)=②由①②可得eqblc{(avsalco(a=,b=))所以椭圆E的标准方程为eqf(x,)+y=故选D.已知椭圆的中心在原点以坐标轴为对称轴且经过两点P(eqr())P(-eqr()-eqr())则该椭圆的方程为.解析:设椭圆方程为mx+ny=(m>n>且m≠n).因为椭圆经过PP两点所以PP点坐标适合椭圆方程则eqblc{(avsalco(m+n=①,m+n=②))①②两式联立解得eqblc{(avsalco(m=f(,),n=f(,)))所以所求椭圆方程为eqf(x,)+eqf(y,)=答案:eqf(x,)+eqf(y,)=      椭圆的几何性质(高频考点)学生用书P椭圆的几何性质是每年高考的热点主要涉及椭圆的离心率问题题型既有选择题、填空题也有解答题难度中等及以上.主要命题角度有:()求椭圆的离心率问题()椭圆中的范围问题.典例引领角度一 求椭圆的离心率问题()(·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右顶点分别为AA且以线段AA为直径的圆与直线bx-ay+ab=相切则C的离心率为(  )Aeqf(r(),)        Beqf(r(),)Ceqf(r(),)D.eqf(,)()设A、A分别为椭圆eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右顶点若在椭圆上存在点P使得kPA·kPA>-eqf(,)则该椭圆的离心率的取值范围是(  )A.(eqf(,))B(eqf(r(),))C.(eqf(r(),))D.(eqf(,))【解析】 ()以线段AA为直径的圆的方程为x+y=a由原点到直线bx-ay+ab=的距离d=eqf(ab,r(b+a))=a得a=b所以C的离心率e=eqr(-f(b,a))=eqf(r(),)()椭圆eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右顶点分别为A(-a)、A(a)设P(xy)根据题意kPA·kPA=,)eqf(y,xeqoal(,)-a)>-eqf(,)而,)eqf(x,a)+,)eqf(y,b)=所以a-xeqoal(,)=,)eqf(ay,b)于是eqf(b,a)<eqf(,)即eqf(a-c,a)<eqf(,)-e<eqf(,)所以e>eqf(r(),)又e<故eqf(r(),)<e<选C【答案】 ()A ()C角度二 椭圆中的范围问题(·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C:eqf(x,)+eqf(y,m)=长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=°则m的取值范围是(  )A.(∪+∞)B(eqr()∪+∞)C.(∪+∞)D.(eqr()∪+∞)【解析】 依题意得eqblc{(avsalco(f(r(),r(m))≥tanf(∠AMB,),<m<))或eqblc{(avsalco(f(r(m),r())≥tanf(∠AMB,),m>))所以eqblc{(avsalco(f(r(),r(m))≥tan°,<m<))或eqblc{(avsalco(f(r(m),r())≥tan°,m>))解得<m≤或m≥故选A【答案】 Aeqavsal()()利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围或者最大值、最小值时经常用到椭圆标准方程中xy的范围离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时要理清它们之间的内在联系.()求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时一般是依据题设得出一个关于abc的等式或不等式利用a=b+c消去b即可求得离心率或离心率的范围.通关练习.(·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点F是椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左焦点AB分别为C的左右顶点.P为C上一点且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点则C的离心率为(  )Aeqf(,)Beqf(,)Ceqf(,)D.eqf(,)解析:选A设E(m)则直线AE的方程为-eqf(x,a)+eqf(y,m)=由题意可知Meqblc(rc)(avsalco(-cm-f(mc,a)))eqblc(rc)(avsalco(f(m,)))和B(a)三点共线则eqf(m-f(mc,a)-f(m,),-c)=eqf(f(m,),-a)化简得a=c则C的离心率e=eqf(c,a)=eqf(,).如图焦点在x轴上的椭圆eqf(x,)+eqf(y,b)=的离心率e=eqf(,)FA分别是椭圆的一个焦点和顶点P是椭圆上任意一点则eqo(PF,sup(→))·eqo(PA,sup(→))的最大值为.解析:设P点坐标为(xy).由题意知a=因为e=eqf(c,a)=eqf(,)所以c=b=a-c=故所求椭圆方程为eqf(x,)+eqf(y,)=所以-≤x≤-eqr()≤y≤eqr()因为F(-)A()eqo(PF,sup(→))=(--x-y)eqo(PA,sup(→))=(-x-y)所以eqo(PF,sup(→))·eqo(PA,sup(→))=xeqoal(,)-x-+yeqoal(,)=eqf(,)xeqoal(,)-x+=eqf(,)(x-)即当x=-时eqo(PF,sup(→))·eqo(PA,sup(→))取得最大值答案:      直线与椭圆的位置关系学生用书P典例引领已知椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右焦点分别为F(-)F()点Aeqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))在椭圆C上.()求椭圆C的标准方程.()是否存在斜率为的直线l使得当直线l与椭圆C有两个不同交点MN时能在直线y=eqf(,)上找到一点P在椭圆C上找到一点Q满足eqo(PM,sup(→))=eqo(NQ,sup(→))?若存在求出直线l的方程若不存在说明理由.【解】 ()设椭圆C的焦距为c则c=因为Aeqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))在椭圆C上所以eqf(,a)+eqf(,b)=又a=b+c所以a=eqr()b=c=故椭圆C的标准方程为eqf(x,)+y=()设直线l的方程为y=x+t设M(xy)N(xy)Peqblc(rc)(avsalco(xf(,)))Q(xy)MN的中点为D(xy)由eqblc{(avsalco(y=x+t,x+y=))消去x得y-ty+t-=所以y+y=eqf(t,)且Δ=t-(t-)>故y=eqf(y+y,)=eqf(t,)且-<t<由eqo(PM,sup(→))=eqo(NQ,sup(→))知四边形PMQN为平行四边形而D为线段MN的中点因此D为线段PQ的中点所以y=eqf(f(,)+y,)=eqf(t,)可得y=eqf(t-,)又-<t<可得-eqf(,)<y<-因此点Q不在椭圆上故不存在满足题意的直线leqavsal()解决直线与椭圆位置关系问题的方法()解决直线与椭圆的位置关系的相关问题其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立消元、化简然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决往往会更简单.()设直线与椭圆的交点坐标为A(xy)B(xy)则|AB|=eqr((+k)(x+x)-xx)=eqr((+f(,k))(y+y)-yy)(k为直线斜率).注意 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的不要忽略判别式.通关练习已知椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的焦距为且经过点Peqblc(rc)(avsalco(f(,)))()求椭圆C的方程()若直线l经过M()与C交于AB两点eqo(MA,sup(→))=-eqf(,)eqo(MB,sup(→))求直线l的方程.解:()依题意c=则椭圆C的焦点为F(-)F()由椭圆的定义可得a=|PF|+|PF|=eqr((+)+blc(rc)(avsalco(f(,)))sup())+eqr((-)+blc(rc)(avsalco(f(,)))sup())=eqf(,)+eqf(,)=即有a=则b=a-c=故椭圆C的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=()若l与x轴垂直则l的方程为x=AB为椭圆短轴的两个端点不符合题意.若l与x轴不垂直设l的方程为y=kx+由eqblc{(avsalco(f(x,)+f(y,)=,y=kx+))得(k+)x+kx-=设A(xy)B(xy)则x+x=-eqf(k,k+)x·x=-eqf(,k+)易知Δ>由eqo(MA,sup(→))=-eqf(,)eqo(MB,sup(→))得(xy-)=-eqf(,)(xy-)即有x=-eqf(,)x可得eqf(,)x=-eqf(k,k+)-eqf(,)xeqoal(,)=-eqf(,k+)即有eqblc(rc)(avsalco(-f(k,k+)))eqsup()=eqf(,k+)解得k=±eqf(,)故直线l的方程为y=eqf(,)x+或y=-eqf(,)x+eqavsal()椭圆标准方程的求法求椭圆的标准方程常采用“先定位后定量”的方法(待定系数法).先“定位”就是先确定椭圆和坐标系的相对位置以椭圆的中心为原点的前提下看焦点在哪条坐标轴上确定标准方程形式再“定量”就是根据已知条件通过解方程(组)等手段确定ab的值代入所设的方程即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置这时的方程常可设为mx+ny=(m>n>且m≠n).求离心率常用的两种方法()求得ac的值代入公式e=eqf(c,a)即可()列出abc的方程或不等式根据b=a-c将b消掉转化为含有a和c的关系式最后转化为关于e的方程或不等式.椭圆焦点三角形的常见性质以椭圆eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)上一点P(xy)(y≠)和焦点F(-c)F(c)为顶点的△PFF中若∠FPF=θ则()|PF|+|PF|=a()c=|PF|+|PF|-|PF||PF|·cosθ()S△PFF=eqf(,)|PF||PF|·sinθ当|y|=b即P为短轴端点时S△PFF取最大值bc()焦点三角形的周长为(a+c)()当P为短轴端点时θ最大()若焦点三角形的内切圆圆心为I延长PI交FF于点Q则eqf(|PI|,|IQ|)=eqf(|PF|,|FQ|)=eqf(|PF|,|FQ|)所以eqf(|PI|,|IQ|)=eqf(|PF|+|PF|,|FQ|+|FQ|)=eqf(a,c)=eqf(,e)(e为离心率).解决椭圆的方程及性质问题应注意三点()判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程中x和y的分母大小.()关于离心率的范围问题一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为<e<()注意椭圆的范围在设椭圆eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)上点的坐标为P(xy)时则|x|≤a这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.学生用书P(单独成册).椭圆eqf(x,m)+eqf(y,)=的焦距为则m的值是(  )A.或      BC.或D.或解析:选D由题意得c=当椭圆的焦点在x轴上时由m-=解得m=当椭圆的点在y轴上时由-m=解得m=所以m的值是或故选D.已知椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的离心率为eqf(,)以原点为圆心椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+eqr()=相切则椭圆C的方程为(  )Aeqf(x,)+eqf(y,)=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)+eqf(y,)=D.eqf(x,)+eqf(y,)=解析:选C由题意知e=eqf(c,a)=eqf(,)所以e=eqf(c,a)=eqf(a-b,a)=eqf(,)即a=eqf(,)b以原点为圆心椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x+y=b由题意可知b=eqf(r(),r())=eqr()所以a=b=故椭圆C的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=故选C.设椭圆eqf(x,)+eqf(y,)=的焦点为FF点P在椭圆上若△PFF是直角三角形则△PFF的面积为(  )A.B或eqf(,)Ceqf(,)D.或解析:选C由已知a=b=eqr()c=则点P为短轴顶点(eqr())时∠FPF=eqf(π,)△PFF是正三角形若△PFF是直角三角形则直角顶点不可能是点P只能是焦点F(或F)为直角顶点此时|PF|=eqf(b,a)=eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(或|PF|=f(b,a)))S△PFF=eqf(,)·eqf(b,a)·c=eqf(bc,a)=eqf(,)故选C.已知F是椭圆eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左焦点A为右顶点P是椭圆上一点PF⊥x轴|PF|=eqf(,)|AF|则该椭圆的离心率是(  )Aeqf(,)Beqf(,)Ceqf(,)D.eqf(r(),)解析:选B由题可知点P的横坐标是-c代入椭圆方程有eqf(c,a)+eqf(y,b)=得y=±eqf(b,a)又|PF|=eqf(,)|AF|即eqf(b,a)=eqf(,)(a+c)化简得c+ac-a=即e+e-=解得e=eqf(,)或e=-(舍去)..如图椭圆eqf(x,a)+eqf(y,)=(a>)的左、右焦点分别为FFP点在椭圆上若|PF|=∠FPF=°则a的值为(  )A.BC.D.解析:选Bb=c=eqr(a-)故|FF|=eqr(a-)又|PF|=|PF|+|PF|=a|PF|=a-由余弦定理得cos°=eqf(+(a-)-(r(a-)),××(a-))=-eqf(,)化简得a=即a=故选B.已知方程eqf(x,-k)+eqf(y,k-)=表示焦点在y轴上的椭圆则实数k的取值范围是.解析:因为方程eqf(x,-k)+eqf(y,k-)=表示焦点在y轴上的椭圆则由eqblc{(avsalco(-k>,k->,k->-k))得eqblc{(avsalco(k<,k>f(,),k>))故k的取值范围为(). 答案:().若n是和的等比中项则圆锥曲线x+eqf(y,n)=的离心率是.解析:由n=×得n=±当n=时曲线为椭圆其离心率为e=eqf(r(-),)=eqf(r(),)当n=-时曲线为双曲线其离心率为e=eqf(r(+),)=eqr()答案:eqf(r(),)或eqr().已知椭圆C的中心在原点一个焦点F(-)且长轴长与短轴长的比是∶eqr()则椭圆C的方程是.解析:设椭圆C的方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>).由题意知eqblc{(avsalco(a=b+c,a∶b=∶r()解得a=b=,c=))所以椭圆C的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=答案:eqf(x,)+eqf(y,)=.已知椭圆C:x+y=()求椭圆C的离心率.()设O为原点.若点A在直线y=上点B在椭圆C上且OA⊥OB求线段AB长度的最小值.解:()由题意椭圆C的标准方程为eqf(x,)+eqf(y,)=所以a=b=从而c=a-b=因此a=c=eqr()故椭圆C的离心率e=eqf(c,a)=eqf(r(),)()设点AB的坐标分别为(t)(xy)其中x≠因为OA⊥OB所以eqo(OA,sup(→))·eqo(OB,sup(→))=即tx+y=解得t=-eqf(y,x)又xeqoal(,)+yeqoal(,)=所以|AB|=(x-t)+(y-)=eqblc(rc)(avsalco(x+f(y,x)))eqsup()+(y-)=xeqoal(,)+yeqoal(,)+,)eqf(y,xeqoal(,))+=xeqoal(,)+,)eqf(-x,)+,)eqf((-x),xeqoal(,))+=,)eqf(x,)+,)eqf(,x)+(<xeqoal(,)≤).因为,)eqf(x,)+,)eqf(,x)≥(<xeqoal(,)≤)当且仅当xeqoal(,)=时等号成立所以|AB|≥故线段AB长度的最小值为eqr().(·陕西质量检测)已知椭圆与抛物线y=eqr()x有一个相同的焦点且该椭圆的离心率为eqf(r(),)()求椭圆的标准方程()过点P()的直线与该椭圆交于AB两点O为坐标原点若eqo(AP,sup(→))=eqo(PB,sup(→))求△AOB的面积.解:()依题意设椭圆的标准方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)由题意可得c=eqr()又e=eqf(c,a)=eqf(r(),)所以a=所以b=a-c=所以椭圆的标准方程为eqf(x,)+eqf(y,)=()设A(xy)B(xy)由eqo(AP,sup(→))=eqo(PB,sup(→))得eqblc{(avsalco(-x=x,-y=(y-)))验证易知直线AB的斜率存在设直线AB的方程为y=kx+代入椭圆方程整理得(k+)x+kx-=所以x+x=eqf(-k,k+)x·x=eqf(-,k+)将x=-x代入上式可得(eqf(k,k+))=eqf(,k+)解得k=eqf(,)所以△AOB的面积S=eqf(,)|OP|·|x-x|=eqf(r((x+x)-xx),)=eqf(,)·eqf(r(k+),k+)=eqf(r(),).(·广州综合测试(一))已知FF分别是椭圆C:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左、右焦点若椭圆C上存在点P使得∠FPF为钝角则椭圆C的离心率的取值范围是(  )A.(eqf(r(),))B(eqf(,))C.(eqf(r(),))D.(eqf(,))解析:选A法一:设P(xy)由题易知|x|<a因为∠FPF为钝角所以eqo(PF,sup(→))·eqo(PF,sup(→))<有解即c>xeqoal(,)+yeqoal(,)有解即c>(xeqoal(,)+yeqoal(,))min又yeqoal(,)=b-eqf(b,a)xeqoal(,)xeqoal(,)<a故xeqoal(,)+yeqoal(,)=b+eqf(c,a)xeqoal(,)∈ba)所以(xeqoal(,)+yeqoal(,))min=b故c>b又b=a-c所以e=eqf(c,a)>eqf(,)解得e>eqf(r(),)又<e<故椭圆C的离心率的取值范围是(eqf(r(),))选A法二:椭圆上存在点P使∠FPF为钝角?以原点O为圆心以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点?b<c如图由b<c得a-c<c即a<c解得e=eqf(c,a)>eqf(r(),)又<e<故椭圆C的离心率的取值范围是(eqf(r(),))选A.过椭圆eqf(x,)+eqf(y,)=的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于AB两点O为坐标原点则△OAB的面积为(  )Aeqf(,)Beqf(,)Ceqf(,)D.eqf(,)解析:选B由题意知椭圆的右焦点F的坐标为()则直线AB的方程为y=x-联立eqblc{(avsalco(f(x,)+f(y,)=,y=x-))解得交点A(-)Beqblc(rc)(avsalco(f(,)f(,)))所以S△OAB=eqf(,)·|OF|·|yA-yB|=eqf(,)××eqblc|rc|(avsalco(--f(,)))=eqf(,)故选B如图已知椭圆C的中心为原点OF(-eqr())为C的左焦点P为C上一点满足|OP|=|OF|且|PF|=则椭圆C的方程为(  )Aeqf(x,)+eqf(y,)=Beqf(x,)+eqf(y,)=Ceqf(x,)+eqf(y,)=D.eqf(x,)+eqf(y,)=解析:选B设椭圆的标准方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)焦距为c右焦点为F′连接PF′如图所示.因为F(-eqr())为C的左焦点所以c=eqr()由|OP|=|OF|=|OF′|知∠FPF′=°即FP⊥PF′在Rt△PFF′中由勾股定理得|PF′|=eqr(|FF′|-|PF|)=eqr((r())-)=由椭圆定义得|PF|+|PF′|=a=+=所以a=a=于是b=a-c=-(eqr())=所以椭圆C的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=.已知椭圆方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)AB分别是椭圆长轴的两个端点MN是椭圆上关于x轴对称的两点直线AMBN的斜率分别为kk若|k·k|=eqf(,)则椭圆的离心率为.解析:设M(xy)则N(x-y)|k·k|=eqblc|rc|(avsalco(f(y,x+a)·f(y,a-x)))=,)eqf(y,a-xeqoal(,))=,)eqf(bblc(rc)(avsalco(-f(x,a))),a-xeqoal(,))=eqf(b,a)=eqf(,)从而e=eqr(-f(b,a))=eqf(r(),)答案:eqf(r(),).(·高考北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-)B()焦点在x轴上离心率为eqf(r(),)()求椭圆C的方程()点D为x轴上一点过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点MN过D作AM的垂线交BN于点E求证:△BDE与△BDN的面积之比为∶解:()设椭圆C的方程为eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>).由题意得eqblc{(avsalco(a=,f(c,a)=f(r(),)))解得c=eqr()所以b=a-c=所以椭圆C的方程为eqf(x,)+y=()证明:设M(mn)则D(m)N(m-n).由题设知m≠±且n≠直线AM的斜率kAM=eqf(n,m+)故直线DE的斜率kDE=-eqf(m+,n)所以直线DE的方程为y=-eqf(m+,n)(x-m).直线BN的方程为y=eqf(n,-m)(x-).联立eqblc{(avsalco(y=-f(m+,n)(x-m),y=f(n,-m)(x-)))解得点E的纵坐标yE=-eqf(n(-m),-m+n)由点M在椭圆C上得-m=n所以yE=-eqf(,)n又S△BDE=eqf(,)|BD|·|yE|=eqf(,)|BD|·|n|S△BDN=eqf(,)|BD|·|n|所以△BDE与△BDN的面积之比为∶.(·合肥质量检测(一))已知点F为椭圆E:eqf(x,a)+eqf(y,b)=(a>b>)的左焦点且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形直线eqf(x,)+eqf(y,)=与椭圆E有且仅有一个交点M()求椭圆E的方程()设直线eqf(x,)+eqf(y,)=与y轴交于P过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点AB若λ|PM|=|PA|·|PB|求实数λ的取值范围.解:()由题意得a=cb=eqr()c则椭圆E为eqf(x,c)+eqf(y,c)=由eqblc{(avsalco(f(x,)+f(y,)=c,f(x,)+f(y,)=))得x-x+-c=因为直线eqf(x,)+eqf(y,)=与椭圆E有且仅有一个交点M所以Δ=-(-c)=?c=所以椭圆E的方程为eqf(x,)+eqf(y,)=()由()得M(eqf(,))因为直线eqf(x,)+eqf(y,)=与y轴交于P()所以|PM|=eqf(,)当直线l与x轴垂直时|PA|·|PB|=(+eqr())×(-eqr())=所以λ|PM|=|PA|·|PB|?λ=eqf(,)当直线l与x轴不垂直时设直线l的方程为y=kx+A(xy)B(xy)由eqblc{(avsalco(y=kx+,x+y-=))?(+k)x+kx+=依题意得xx=eqf(,+k)且Δ=(k-)>所以|PA|·|PB|=(+k)xx=(+k)·eqf(,+k)=+eqf(,+k)=eqf(,)λ所以λ=eqf(,)(+eqf(,+k))因为k>eqf(,)所以eqf(,)<λ<综上所述λ的取值范围是eqf(,)).

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