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      首页 第三章 第3节

      第三章 第3节.doc

      第三章 第3节

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《第三章 第3节doc》,可适用于考试题库领域

      《创新设计》图书第节 定积分与微积分基本定理最新考纲 了解定积分的实际背景了解定积分的基本思想了解定积分的概念几何意义了解微积分基本定理的含义知识梳理定积分的概念与几何意义()定积分的定义如果函数f(x)在区间ab上连续用分点将区间ab等分成n个小区间在每个小区间上任取一点ξi(i=…n)作和式eqisu(i=,n,)f(ξi)f(ξi)当n→∞时上述和式无限接近于某个常数这个常数叫做函数f(x)在区间ab上的定积分记作eqiin(a,b,)f(x)dx即eqiin(a,b,)f(x)dx=在eqiin(a,b,)f(x)dx中ab分别叫做积分下限与积分上限区间ab叫做积分区间函数f(x)叫做被积函数x叫做积分变量f(x)dx叫做被积式()定积分的几何意义f(x)eqiin(a,b,)f(x)dx的几何意义f(x)≥表示由直线x=ax=by=及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)<表示由直线x=ax=by=及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在ab上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积定积分的性质()eqiin(a,b,)kf(x)dx=keqiin(a,b,)f(x)dx(k为常数)()eqiin(a,b,)f(x)±f(x)dx=eqiin(a,b,)f(x)dx±eqiin(a,b,)f(x)dx()eqiin(a,b,)f(x)dx=eqiin(a,c,)f(x)dx+eqiin(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)微积分基本定理一般地如果f(x)是在区间ab上的连续函数且F′(x)=f(x)那么eqiin(a,b,)f(x)dx=F(b)-F(a)这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把F(b)-F(a)记为F(x)eqblc|(avsalco(b,a))即eqiin(a,b,)f(x)dx=F(x)eqblc|(avsalco(b,a)))=F(b)-F(a)常用结论与微点提醒函数f(x)在闭区间-aa上连续则有()若f(x)为偶函数则eqiin(-a,a,)f(x)dx=eqiin(,a,)f(x)dx()若f(x)为奇函数则eqiin(-a,a,)f(x)dx=若积分式子中有几个不同的参数则必须先分清谁是被积变量定积分的几何意义是曲边梯形的面积但要注意:面积非负而定积分的结果可以为负诊断自测思考辨析(在括号内打“√”或“×”)()设函数y=f(x)在区间ab上连续则eqiin(a,b,)f(x)dx=eqiin(a,b,)f(t)dt(  )()曲线y=x与y=x所围成的面积是eqiin(,,)(x-x)dx(  )()若eqiin(a,b,)f(x)dx<那么由y=f(x)x=ax=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方(  )()定积分eqiin(a,b,)f(x)dx一定等于由x=ax=by=及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(  )()加速度对时间的积分是路程(  )解析 ()y=x与y=x所围成的面积是eqiin(,,)(x-x)dx()若eqiin(a,b,)f(x)dx<那么由y=f(x)x=ax=b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大()定积分eqiin(a,b,)f(x)dx等于由x=ax=by=及曲线y=f(x)所围成图形的面积的代数和()加速度对时间的积分是速度速度对时间的积分才是路程答案 ()√ ()× ()× ()× ()×(选修-PA改编)已知质点的速度v=t则从t=到t=t质点所经过的路程是(  )Ateqoal(,)Bteqoal(,)Ceqf(,)teqoal(,)Deqf(,)teqoal(,)答案 B直线y=x与曲线y=x在第一象限内围成的封闭图形的面积为(  )Aeqr()Beqr()CD解析 如图y=x与y=x的交点A()图中阴影部分即为所求图形面积S阴=eqiin(,,)(x-x)dx=eqblcrc|(avsalco(blc(rc)(avsalco(x-f(,)x))))eqsup()=-eqf(,)×=答案 D汽车以v=(t+)ms作变速直线运动时在第s至第s间的s内经过的位移是(  )Aeqf(,)mBmCeqf(,)mDm解析 s=eqiin(,,)(t+)dt=eqblc(rc)(avsalco(f(,)t+t))eqblc|(avsalco(,))=eqf(,)×+-eqblc(rc)(avsalco(f(,)+))=-eqf(,)=eqf(,)(m)答案 A若eqiin(a,,)xdx=则常数a的值为解析 eqiin(a,,)xdx=eqf(,)xeqblc|(avsalco(,a))=-eqf(,)a=∴a=-a=-答案 -考点一 定积分的计算(典例迁移)【例】()(·合肥模拟)eqiin(,π,)(cosx+)dx=()eqiin(-,,)|x-x|dx=()eqiin(,,)(x+eqr(-x))dx=解析 ()eqiin(,π,)(cosx+)dx=(sinx+x)eqblc|(avsalco(π,))=π()eqiin(-,,)|x-x|dx=eqiin(-,,)(x-x)dx+eqiin(,,)(x-x)dx=eqblc(rc)(avsalco(f(,)x-x))eqblc|(avsalco(,-))+eqblc(rc)(avsalco(x-f(,)x))eqblc|(avsalco(,))=eqf(,)++-eqf(,)=()eqiin(,,)eqr(-x)dx表示以原点为圆心以为半径的圆的面积的eqf(,)∴eqiin(,,)eqr(-x)dx=eqf(π,)又∵eqiin(,,)xdx=xeqblc|(avsalco(,))=∴eqiin(,,)(x+eqr(-x))dx=eqiin(,,)xdx+eqiin(,,)eqr(-x)dx=+eqf(π,)答案 ()π () ()+eqf(π,)【迁移探究】若将例()中的积分变为eqiin(,π,)(cosx+a)dx=π求实数a的值解 eqiin(,π,)(cosx+a)dx=(sinx+ax)eqblc|(avsalco(π,))=aπ即aπ=π故a=【迁移探究】若将例()中的条件变为eqiin(-a,a,)(x+eqr(a-x))dx=π其中a>求实数a的值解 eqiin(-a,a,)eqr(a-x)dx表示以原点为圆心以a为半径的圆的面积的eqf(,)∴eqiin(-a,a,)eqr(a-x)dx=eqf(,)πa又∵eqiin(-a,a,)xdx=xeqblc|(avsalco(a,-a))=∴eqiin(-a,a,)(x+eqr(a-x))dx=eqiin(-a,a,)xdx+eqiin(-a,a,)eqr(a-x)dx=eqf(,)πa即eqf(,)πa=π∴a=又a>故a=规律方法 ()运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:①对被积函数要先化简再求积分②求被积函数为分段函数的定积分依据定积分“对区间的可加性”分段积分再求和③若被积函数具有奇偶性时可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算()运用定积分的几何意义求定积分当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分【训练】()eqiin(-,,)e|x|dx的值为(  )ABeCe-De+()定积分eqiin(-,,)(x+sinx)dx=解析 ()eqiin(-,,)e|x|dx=eqiin(-,,)e-xdx+eqiin(,,)exdx=-e-x|eqoal(,-)+ex|eqoal(,)=-e-(-e)+(e-e)=-+e+e-=e-故选C()eqiin(-,,)(x+sinx)dx=eqiin(-,,)xdx+eqiin(-,,)sinxdx=eqiin(,,)xdx=·eqf(x,)|eqoal(,)=eqf(,)答案 ()C ()eqf(,)考点二 利用定积分计算平面图形的面积【例】()(·郑州模拟)曲线y=sinx(≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积为()(一题多解)由抛物线y=x与直线y=x-围成的平面图形的面积为()已知曲线y=x与直线y=kx(k>)所围成的曲边图形的面积为eqf(,)则k=解析 ()令sinx=得sinx=eqf(,)当x∈π时得x=eqf(π,)或x=eqf(π,)所以所求面积S=(sinx-)dx=(-cosx-x)=eqr()-eqf(π,)()如图所示解方程组eqblc{(avsalco(y=x,y=x-))得两交点为(-)()法一 选取横坐标x为积分变量则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和即S=eqiin(,,)eqr(x)dx+eqiin(,,)(eqr(x)-x+)dx=法二 选取纵坐标y为积分变量则图中阴影部分的面积S=eqiin(-,,)eqblc(rc)(avsalco(y+-f(,)y))dy=()由eqblc{(avsalco(y=x,y=kx))得eqblc{(avsalco(x=,y=))或eqblc{(avsalco(x=k,y=k))则曲线y=x与直线y=kx(k>)所围成的曲边梯形的面积为eqiin(,k,)(kx-x)dx=eqblc(rc)(avsalco(f(k,)x-f(,)x))eqblc|(avsalco(k,))=eqf(k,)-eqf(,)k=eqf(,)则k=∴k=答案 ()eqr()-eqf(π,) () ()规律方法 利用定积分求解曲边图形的面积关键把握住两点:一是准确确定被积函数一般的原则是“上”-“下”即根据曲边图形的结构特征用上方曲线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式二是准确确定定积分的上下限应为曲边图形左右两边对应的点的横坐标上下限的顺序不能颠倒【训练】()(·唐山统考)过点(-)的直线l与曲线y=eqr(x)相切则曲线y=eqr(x)与l及x轴所围成的封闭图形的面积为()曲线y=eqr(x)y=-xy=-eqf(,)x所围成图形的面积为解析 ()因为y=eqr(x)的导数为y′=eqf(,r(x))设切点为P(xy)则切线的斜率为eqf(,r(x))=eqf(r(x),x+)解得x=即切线的斜率为eqf(,)所以直线l的方程为y=eqf(,)(x+)所以所围成的封闭图形的面积为eqiin(,,)eqblcrc(avsalco(f(,)(x+)-r(x)))dx+eqf(,)××eqf(,)=eqblc(rc)(avsalco(f(,)x+f(,)x-f(,)xsup(f(,))))eqblc|(avsalco(,))+eqf(,)=eqf(,)()如图所示由eqblc{(avsalco(y=r(x),y=-x))得交点A()由eqblc{(avsalco(y=-x,y=-f(,)x))得交点B(-)故所求面积S=eqiin(,,)eqblc(rc)(avsalco(r(x)+f(,)x))dx+eqiin(,,)eqblc(rc)(avsalco(-x+f(,)x))dx=eqblc(rc)(avsalco(f(,)xf(,)+f(,)x))eqblc|(avsalco(,))+eqblc(rc)(avsalco(x-f(,)x))eqblc|(avsalco(,))=eqf(,)+eqf(,)+eqf(,)=eqf(,)答案 ()eqf(,) ()eqf(,)考点三 定积分在物理中的应用【例】一辆汽车在高速公路上行驶由于遇到紧急情况而刹车以速度v(t)=-t+eqf(,+t)(t的单位:sv的单位:ms)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(  )A+lnB+lneqf(,)C+lnD+ln解析 令v(t)=得t=或t=-eqf(,)(舍去)∴汽车行驶距离s=eqiin(,,)eqblc(rc)(avsalco(-t+f(,+t)))dt=eqblcrc(avsalco(t-f(,)t+ln(+t)))eqblc|(avsalco(,))=-+ln=+ln(m)答案 C规律方法 定积分在物理中的两个应用()变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t)那么从时刻t=a到t=b所经过的位移s=eqiin(a,b,)v(t)dt()变力做功:一物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时力F(x)所做的功是W=eqiin(a,b,)F(x)dx【训练】一物体在变力F(x)=-x(力单位:N位移单位:m)作用下沿与F(x)成°方向作直线运动则由x=运动到x=时F(x)做的功为(  )Aeqr()JBeqf(r(),)JCeqf(r(),)JDeqr()J解析 eqiin(,,)F(x)cos°dx=eqiin(,,)eqf(r(),)(-x)dx=eqblcrc(avsalco(blc(rc)(avsalco(x-f(,)x))×f(r(),)))eqblc|(avsalco(,))=eqf(,)eqr()∴F(x)做的功为eqf(,)eqr()J答案 C基础巩固题组(建议用时:分钟)一、选择题(·西安调研)定积分eqiin(,,)(x+ex)dx的值为(  )Ae+Be+CeDe-解析 eqiin(,,)(x+ex)dx=(x+ex)eqblc|(avsalco(,)))=+e-=e答案 C若eqiin(,a,)eqblc(rc)(avsalco(x+f(,x)))dx=+ln(a>)则a的值是(  )ABCD解析 eqiin(,a,)eqblc(rc)(avsalco(x+f(,x)))dx=(x+lnx)eqblc|(avsalco(a,))=a+lna-=+ln即a+lna=+ln故a=答案 A(·大连双基测试)sineqf(x,)dx等于(  )ABeqf(π,)-eqf(,)Ceqf(π,)-eqf(,)Deqf(π,)-解析 sineqf(x,)dx=eqf(-cosx,)dx=eqblc(rc)(avsalco(f(,)x-f(,)sinx))=eqf(π,)-eqf(,)答案 B定积分eqiin(,,)|x-|dx等于(  )AB-CD解析 eqiin(,,)|x-|dx=eqiin(,,)(-x)dx+eqiin(,,)(x-)dx=eqblc(rc)(avsalco(x-f(,)x))eqblc|(avsalco(,))+eqblc(rc)(avsalco(f(,)x-x))eqblc|(avsalco(,))=eqblc(rc)(avsalco(-f(,)))+(-)-eqblc(rc)(avsalco(f(,)-))=答案 A若f(x)=eqblc{(avsalco(lgxx>,x+avsal(iin(,a,))tdtx≤))f(f())=则a的值为(  )ABC-D-解析 因为f()=lg=f()=eqiin(,a,)tdt=teqblc|(avsalco(a,))=a所以由f(f())=得a=a=答案 A由直线x=-eqf(π,)x=eqf(π,)y=与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为(  )Aeqf(,)BCeqf(r(),)Deqr()答案 D由y=xy=eqf(x,)y=所围成的图形的面积为(  )Aeqf(,)Beqf(,)CD解析 如图所示阴影部分的面积为S=eqblcrc(avsalco(iin(,,)blc(rc)(avsalco(x-f(,)x))dx+iin(,,)blc(rc)(avsalco(-f(,)x))dx))=eqblc(rc)(avsalco(f(,)-f(,)+-f(,)×-+f(,)))=eqf(,)答案 A如图指数函数的图象过点E()则图中阴影部分的面积等于(  )Aeqf(,ln)  BCeqf(,ln)  D解析 设指数函数为y=ax(a>且a≠)因为其过点E()所以a=解得a=所以图中阴影部分的面积S=eqiin(,,)xdx=eqf(x,ln)eqblc|(avsalco(,))=eqf(,ln)答案 A二、填空题eqiin(,e,)eqblc(rc)(avsalco(x+f(,x)))dx=解析 eqiin(,e,)eqblc(rc)(avsalco(x+f(,x)))dx=eqblc(rc)(avsalco(f(x,)+lnx))eqblc|(avsalco(e,))=eqf(e,)+-eqf(,)=eqf(e+,)答案 eqf(e+,)一物体作变速直线运动其v-t曲线如图所示则该物体在eqf(,)s~s间的运动路程为m解析 由题图可知v(t)=eqblc{(avsalco(t   (≤t<),(≤t≤),f(,)t+(<t≤)))由变速直线运动的路程公式可得所以物体在eqf(,)s~s间的运动路程是eqf(,)m答案 eqf(,)(·洛阳统考)函数f(x)=eqblc{(avsalco(x+-≤x<,ex≤x≤))的图象与直线x=及x轴所围成的封闭图形的面积为解析 由题意知所求面积为eqiin(-,,)(x+)dx+eqiin(,,)exdx=eqblc(rc)(avsalco(f(,)x+x))eqblc|(avsalco(,-))+exeqblc|(avsalco(,))=-eqblc(rc)(avsalco(f(,)-))+(e-)=e-eqf(,)答案 e-eqf(,)如图所示函数y=-x+x+与y=相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)则该闭合图形的面积是解析 由eqblc{(avsalco(y=-x+x+,y=))解得x=x=∴S=eqiin(,,)(-x+x+-)dx=eqiin(,,)(-x+x)dx=eqblc(rc)(avsalco(-f(x,)+x))eqblc|(avsalco(,))=-eqf(,)+=eqf(,)答案 eqf(,)能力提升题组(建议用时:分钟)(·广州调研)设f(x)=eqblc{(avsalco(r(-x)x∈-),x-x∈))则eqiin(-,,)f(x)dx的值为(  )Aeqf(π,)+eqf(,)Beqf(π,)+Ceqf(π,)+eqf(,)Deqf(π,)+解析 eqiin(-,,)f(x)dx=eqiin(-,,)eqr(-x)dx+eqiin(,,)(x-)dx=eqf(,)π×+eqblc(rc)(avsalco(f(,)x-x))eqblc|(avsalco(,))=eqf(π,)+eqf(,)答案 A若f(x)=x+eqiin(,,)f(x)dx则eqiin(,,)f(x)dx=(  )A-B-eqf(,)Ceqf(,)D解析 由题意知f(x)=x+eqiin(,,)f(x)dx设m=eqiin(,,)f(x)dx∴f(x)=x+meqiin(,,)f(x)dx=eqiin(,,)(x+m)dx=eqblc(rc)(avsalco(f(,)x+mx))eqblc|(avsalco(,))=eqf(,)+m=m∴m=-eqf(,)答案 B一物体在力F(x)=eqblc{(avsalco(≤x≤,x+x>))(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向从x=处运动到x=(单位:m)处则力F(x)做的功为J解析 由题意知力F(x)所做的功为W=eqiin(,,)F(x)dx=eqiin(,,)dx+eqiin(,,)(x+)dx=+eqblcrc(avsalco(f(,)×+×-blc(rc)(avsalco(f(,)×+×))))=(J)答案 (·长春模拟)在平面直角坐标系xOy中将直线y=x与直线x=及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥圆锥的体积V圆锥=eqiin(,,)πxdx=eqf(π,)xeqblc|(avsalco(,))=eqf(π,)据此类比:将曲线y=lnx与直线y=及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体该旋转体的体积V=解析 类比已知结论将曲线y=lnx与直线y=及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分被积函数为πeqblc(rc)(avsalco(ef(y,)))eqsup()=πey积分变量为y积分区间为即V=eqiin(,,)πeydy=πeyeqblc|(avsalco(,))=π(e-)答案 π(e-)unknownunknownunknownunknown

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