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      首页 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算

      1 第1讲 变化率与导数、导数的计算.doc

      1 第1讲 变化率与导数、导数的计算

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《1 第1讲 变化率与导数、导数的计算doc》,可适用于考试题库领域

      知识点考纲下载导数概念及其几何意义、导数的运算了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义能根据导数定义求函数y=C(C为常数)y=xy=xy=xy=eqf(,x)y=eqr(x)的导数能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景了解定积分的基本思想了解定积分的概念了解微积分基本定理的含义第讲 变化率与导数、导数的计算.导数的概念()函数y=f(x)在x=x处的导数称函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率eq^o(lim,sdo(Δx→))eqo(lim,sdo(Δx→))eqf(f(x+Δx)-f(x),Δx)=eq^o(lim,sdo(Δx→))eqo(lim,sdo(Δx→))eqf(Δy,Δx)为函数y=f(x)在x=x处的导数记作f′(x)或y′|x=x即f′(x)=eqo(lim,sdo(Δx→))eq^o(lim,sdo(Δx→))eqf(Δy,Δx)=eq^o(lim,sdo(Δx→))eqf(f(x+Δx)-f(x),Δx)()导数的几何意义函数f(x)在点x处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(xy)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地切线方程为y-y=f′(x)(x-x).()函数f(x)的导函数称函数f′(x)=eq^o(lim,sdo(Δx→))eqo(lim,sdo(Δx→))eqf(f(x+Δx)-f(x),Δx)为f(x)的导函数..基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=nxn-f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>且a≠)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(x>a>且a≠)f′(x)=eqf(,xlna)f(x)=lnx(x>)f′(x)=eqf(,x)导数的运算法则()f(x)±g(x)′=f′(x)±g′(x)()f(x)·g(x)′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)()eqblcrc(avsalco(f(f(x),g(x))))′=eqf(f′(x)g(x)-f(x)g′(x),g(x))(g(x)≠)..复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)()f′(x)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(  )()求f′(x)时可先求f(x)再求f′(x).(  )()曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(  )()与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(  )()曲线y=f(x)在点P(xy)处的切线与过点P(xy)的切线相同.(  )答案:()× ()× ()√ ()× ()×(教材习题改编)函数y=xcosx-sinx的导数为(  )A.xsinxB.-xsinxC.xcosxD.-xcosx解析:选By′=x′cosx+x(cosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx(·开封市第一次模拟)已知直线y=kx+与曲线y=x+mx+n相切于点A()则n=(  )A.-  B.C.D.解析:选C对于y=x+mx+ny′=x+m所以k=+m又k+=+m+n=可解得n=已知函数f(x)=axlnxx∈(+∞)其中a为实数f′(x)为f(x)的导函数若f′()=则a的值为.解析:因为f′(x)=a(l+lnx)所以f′()=a=答案:(·高考全国卷Ⅰ)曲线y=x+eqf(,x)在点()处的切线方程为.解析:因为y=x+eqf(,x)所以y′=x-eqf(,x)所以y′|x==-=所以所求切线方程为y-=x-即x-y+=答案:x-y+=      导数的计算典例引领求下列函数的导数:()y=(x-x)(x+)()y=sineqf(x,)(-coseqf(x,))()y=xex-x+e()y=eqf(lnx,x+)()y=lneqf(x-,x+)【解】 ()因为y=(x-x)(x+)=x+x-x-x=x-x-x所以y′=x-x-()因为y=sineqf(x,)(-coseqf(x,))=-eqf(,)sinx所以y′=(-eqf(,)sinx)′=-eqf(,)(sinx)′=-eqf(,)cosx()y′=(xex)′-(x)′+e′=(x)′ex+x(ex)′-(x)′=xexln+xex-xln=(ln+)·(e)x-xln()y′=eqf((lnx)′(x+)-lnx(x+)′,(x+))=eqf(f(,x)(x+)-xlnx,(x+))=eqf(x+-xlnx,x(x+))()y′=(lneqf(x-,x+))′=ln(x-)-ln(x+)′=ln(x-)′-ln(x+)′=eqf(,x-)·(x-)′-eqf(,x+)·(x+)′=eqf(,x-)-eqf(,x+)=eqf(,x-)eqavsal() 通关练习.已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)=x+x·f′()则f′()=(  )A.    B.C.D.解析:选Cf′(x)=x+f′()令x=得f′()=-再令x=得f′()=×+f′()=-=.求下列函数的导数:()y=xnex()y=eqf(cosx,sinx)()y=exlnx()y=(+sinx)解:()y′=nxn-ex+xnex=xn-ex(n+x).()y′=eqf(-sinx-cosx,sinx)=-eqf(,sinx)()y′=exlnx+ex·eqf(,x)=exeqblc(rc)(avsalco(f(,x)+lnx))()y′=(+sinx)·(+sinx)′=(+sinx)·cosx      导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容考查题型既有选择题也有填空题也常出现在解答题的第()问中难度偏小.高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:()求切线方程()已知切线方程(或斜率)求切点坐标()已知切线方程求参数值.典例引领角度一 求切线方程()(·高考天津卷)已知a∈R设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(f())处的切线为l则l在y轴上的截距为.()曲线f(x)=x-x+(eqf(,)≤x≤eqf(,))过点P()的切线方程为.【解析】 ()因为f′(x)=a-eqf(,x)所以f′()=a-又f()=a所以切线l的方程为y-a=(a-)(x-)令x=得y=即直线l在y轴上的截距为()因为f()=-×+=≠所以点P()不在曲线f(x)=x-x+上.设切点坐标为(xy)则eqf(,)≤x≤eqf(,)且,)eqblc{(avsalco(y=x-xeqoal(,)+,f(-y,-x)=f′(x)))所以,)eqblc{(avsalco(y=x-xeqoal(,)+,f(-y,-x)=xeqoal(,)-x))消去y整理得(x-)(xeqoal(,)-x+)=解得x=或x=eqf(+r(),)(舍去)或x=eqf(-r(),)(舍去)所以y=f′(x)=-所以所求的切线方程为y-=-(x-)即y=-x+【答案】 () ()y=-x+角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x-y+=则点P的坐标是.【解析】 设切点P的坐标为(xy)因为y′=lnx+所以切线的斜率为k=lnx+由题意知k=得x=e代入曲线方程得y=e故点P的坐标是(ee).【答案】 (ee)若本例变为:若曲线y=xlnx上点P处的切线与直线x+y+=垂直则该切线的方程为.解析:设切点为(xy)因为y′=lnx+由题意得lnx+=所以lnx=x=即点P()所以切线方程为y=x-即x-y-=答案:x-y-=角度三 已知切线方程求参数值(·高考全国卷Ⅱ)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+的切线也是曲线y=ln(x+)的切线则b=.【解析】 求得(lnx+)′=eqf(,x)ln(x+)′=eqf(,x+)设曲线y=lnx+上的切点为(xy)曲线y=ln(x+)上的切点为(xy)则k=eqf(,x)=eqf(,x+)所以x+=x又y=lnx+y=ln(x+)=lnx所以k=eqf(y-y,x-x)=所以x=eqf(,k)=eqf(,)y=lneqf(,)+=-ln所以b=y-kx=-ln-=-ln【答案】 -lneqavsal()()求曲线切线方程的步骤①求出函数y=f(x)在点x=x处的导数即曲线y=f(x)在点P(xf(x))处切线的斜率②由点斜式方程求得切线方程为y-f(x)=f′(x)·(x-x).()求曲线f(x)g(x)的公切线l的方程的步骤①设点求切线即分别设出两曲线的切点的坐标(xf(x))(xg(x))并分别求出两曲线的切线方程②建立方程组即利用两曲线的切线重合则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等得到关于参数xx的方程组解方程组求出参数xx的值③求切线方程把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.()求曲线的切线方程需注意三点①当曲线y=f(x)在点P(xf(x))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时切线方程为x=x②当切点坐标不知道时应首先设出切点坐标再求解③应正确区分“求在曲线点P处的切线方程”和“求过曲线点P处的切线方程”. 通关练习.(·云南省第一次统一检测)已知函数f(x)=axlnx+b(ab∈R)若f(x)的图象在x=处的切线方程为x-y=则a+b=.解析:由题意得f′(x)=alnx+a所以f′()=a因为函数f(x)的图象在x=处的切线方程为x-y=所以a=又f()=b则×-b=所以b=故a+b=答案:.(·沈阳市教学质量检测(一))设函数f(x)=g(eqf(x,))+x曲线y=g(x)在点(g())处的切线方程为x+y-=则曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程为.解析:由已知得g′()=-g()=-又f′(x)=eqf(,)g′(eqf(x,))+x所以f′()=eqf(,)g′()+=-eqf(,)+=-eqf(,)f()=g()+=-所以所求切线方程为y+=-eqf(,)(x-)即x+y+=答案:x+y+=.若直线l与曲线y=ex及y=-eqf(,)x都相切则直线l的方程为.解析:设直线l与曲线y=ex的切点为(xex)直线l与曲线y=-eqf(,)x的切点为(x-,)eqf(x,))因为y=ex在点(xex)处的切线的斜率为y′|x=x=exy=-eqf(x,)在点(x-,)eqf(x,))处的切线的斜率为y′|x=x=(-eqf(x,))|x=x=-eqf(x,)则直线l的方程可表示为y=exx-xex+ex或y=-eqf(,)xx+eqf(,)xeqoal(,)所以,)eqblc{(avsalco(ex=-f(x,),-xex+ex=f(x,)))所以ex=-x解得x=所以直线l的方程为y=x+答案:y=x+      导数的几何意义与其他知识交汇典例引领抛物线y=x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(xy)是区域D内的任意一点则x+y的取值范围是.【解析】 由于y′=x所以抛物线在x=处的切线方程为y-=(x-)即y=x-画出可行域(如图).设x+y=z则y=-eqf(,)x+eqf(,)z可知当直线y=-eqf(,)x+eqf(,)z经过点Aeqblc(rc)(avsalco(f(,)))B(-)时z分别取到最大值和最小值此时最大值zmax=eqf(,)最小值zmin=-故取值范围是eqblcrc(avsalco(-f(,)))【答案】 eqblcrc(avsalco(-f(,)))eqavsal()()本题以y=x在x=处的切线问题为条件利用导数的几何意义求得切线方程构造出求x+y的取值范围的可行域充分体现了导数与线性规划的交汇.()利用导函数的特性在求解有关奇(偶)函数问题中发挥出奇妙的作用.()导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇. 通关练习.曲线f(x)=-x+x在点(f())处的切线截圆x+(y+)=所得的弦长为(  )A.B.eqr()C.Deqr()解析:选A因为f′(x)=-x+x则在点(f())处的切线的斜率k=-=又f()=故切线方程为y-=(x-)即x-y-=因为圆心C(-)到直线x-y-=的距离d=所以直线x-y-=截圆x+(y+)=所得的弦长就是该圆的直径故选A.对正整数n设曲线y=(-x)xn在x=处的切线与y轴交点的纵坐标为an则数列{eqf(an,n+)}的前n项和等于.解析:因为y′=nxn--(n+)xn所以曲线y=(-x)xn在x=处的切线的斜率为(-eqf(,)n-)n所以切线方程为y=(-eqf(,)n-)n(x-)-n令x=得an=(n+)·n所以eqf(an,n+)=n所以数列{eqf(an,n+)}的前n项和为+++…+n=eqf((-n),-)=eqf(n+-,)答案:eqf(n+-,)eqavsal()导数运算的技巧()要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式再利用运算法则求导数.()对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.但必须注意变形的等价性避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式然后再求解比较方便当函数表达式含有三角函数时可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导.易误防范()利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′=nxn-与指数函数的求导公式(ax)′=axlna混淆.()求曲线切线时要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别前者只有一条而后者包括了前者.                                        .(·四川成都模拟)曲线y=xsinx在点P(π)处的切线方程是(  )A.y=-πx+π      B.y=πx+πC.y=-πx-πD.y=πx-π解析:选A因为y=f(x)=xsinx所以f′(x)=sinx+xcosx在点P(π)处的切线斜率为k=sinπ+πcosπ=-π所以曲线y=xsinx在点P(π)处的切线方程是y=-π(x-π)=-πx+π故选A.已知函数f(x)=(x+)(ax+b)且f′()=则f′(-)=(  )A.-B.-C.D.解析:选Bf(x)=(x+)(ax+b)=ax+(a+b)x+bf′(x)=ax+(a+b)x为奇函数所以f′(-)=-f′()=-函数g(x)=x+eqf(,)x+lnx+b(b∈R)在x=处的切线过点(-)则b的值为(  )Aeqf(,)Beqf(,)Ceqf(,)Deqf(,)解析:选B当x=时g()=+eqf(,)+b=eqf(,)+b又g′(x)=x+x+eqf(,x)所以切线斜率k=g′()=++=从而切线方程为y=x-由于点eqblc(rc)(avsalco(f(,)+b))在切线上所以eqf(,)+b=-解之得b=eqf(,)故选B.如图y=f(x)是可导函数直线l:y=kx+是曲线y=f(x)在x=处的切线令g(x)=xf(x)g′(x)是g(x)的导函数则g′()=(  )A.-B.C.D.解析:选B由题图可知曲线y=f(x)在x=处切线的斜率为-eqf(,)即f′()=-eqf(,)又g(x)=xf(x)g′(x)=f(x)+xf′(x)g′()=f()+f′()由题图可知f()=所以g′()=+×eqblc(rc)(avsalco(-f(,)))=.(·广州市综合测试(一))设函数f(x)=x+ax若曲线y=f(x)在点P(xf(x))处的切线方程为x+y=则点P的坐标为(  )A.()B.(-)C.(-)D.(-)或(-)解析:选D由题易知f′(x)=x+ax所以曲线y=f(x)在点P(xf(x))处的切线斜率为f′(x)=xeqoal(,)+ax又切线方程为x+y=所以x≠且,)eqblc{(avsalco(x+ax=-,x+xeqoal(,)+axeqoal(,)=))解得a=±x=-eqf(a,)所以当eqblc{(avsalco(x=,a=-))时点P的坐标为(-)当eqblc{(avsalco(x=-,a=))时点P的坐标为(-)故选D.若f(x)=(x+x-)e-x则f′(x)=.解析:f′(x)=(x+x-)′e-x+(x+x-)(e-x)′=(x+)e-x+(x+x-)·(-e-x)=(-x)e-x答案:(-x)e-x.(·昆明市教学质量检测)若函数f(x)=eqr()cos(ωx+eqf(π,))的图象在x=处的切线方程为y=-x+则ω=解析:由题意得f′(x)=-eqr()ωsin(ωx+eqf(π,))所以f′()=-eqr()ωsineqf(π,)=-ω=-所以ω=答案:.若曲线f(x)=ax+lnx存在垂直于y轴的切线则实数a的取值范围是.解析:由题意可知f′(x)=ax+eqf(,x)又存在垂直于y轴的切线所以ax+eqf(,x)=即a=-eqf(,x)(x>)故a∈(-∞).答案:(-∞).求下列函数的导数:()y=(x-x)(x+)()y=eqf(x+cosx,x+sinx)()y=xsineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))coseqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))()y=eqf(ln(x+),x+)解:()法一:因为y=(x-x)(x+)=x+x-x-x所以y′=x+x-x-法二:y′=(x-x)′(x+)+(x-x)(x+)′=(x-)(x+)+(x-x)·=x+x-x-()y′=eqf((x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′,(x+sinx))=eqf((-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(+cosx),(x+sinx))=eqf(-xcosx-xsinx+sinx-cosx-,(x+sinx))()因为y=xsineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))coseqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))=eqf(,)xsin(x+π)=-eqf(,)xsinx所以y′=-eqf(,)sinx-eqf(,)x··cosx=-eqf(,)sinx-xcosx()y′=eqf(ln(x+)′(x+)-(x+)′ln(x+),(x+))=eqf(f((x+)′,x+)·(x+)-xln(x+),(x+))=eqf((x+)-x(x+)ln(x+),(x+)(x+)).已知函数f(x)=x+x-()求曲线y=f(x)在点(-)处的切线的方程()如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-eqf(,)x+垂直求切点坐标与切线的方程.解:()可判定点(-)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x+x-)′=x+所以f(x)在点(-)处的切线的斜率为k=f′()=所以切线的方程为y=(x-)+(-)即y=x-()因为切线与直线y=-eqf(,)x+垂直所以切线的斜率k=设切点的坐标为(xy)则f′(x)=xeqoal(,)+=所以x=±所以eqblc{(avsalco(x=,y=-))或eqblc{(avsalco(x=-,y=-))即切点坐标为(-)或(--)切线方程为y=(x-)-或y=(x+)-即y=x-或y=x-.(·成都市第二次诊断性检测)若曲线y=f(x)=lnx+ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线则实数a的取值范围是(  )A.(-eqf(,)+∞)    B.-eqf(,)+∞)C.(+∞)D.+∞)解析:选Df′(x)=eqf(,x)+ax=eqf(ax+,x)(x>)根据题意有f′(x)≥(x>)恒成立所以ax+≥(x>)恒成立即a≥-eqf(,x)(x>)恒成立所以a≥故实数a的取值范围为eqblc(avsalco(+∞))).过点A()作曲线f(x)=x-x的切线最多有(  )A.条 B.条C.条D.条解析:选A由题意得f′(x)=x-设切点为(xxeqoal(,)-x)那么切线的斜率为k=xeqoal(,)-利用点斜式方程可知切线方程为y-(xeqoal(,)-x)=(xeqoal(,)-)(x-x)将点A()代入可得关于x的一元三次方程xeqoal(,)-xeqoal(,)+=令z=xeqoal(,)-xeqoal(,)+则z′=xeqoal(,)-x由z′=得x=或x=当x=时z=>x=时z=-<所以方程xeqoal(,)-xeqoal(,)+=有个解.故过点A()作曲线f(x)=x-x的切线最多有条..曲线f(x)=ex在x=处的切线与曲线g(x)=ax-a(a≠)相切则过切点且与该切线垂直的直线方程为.解析:曲线f(x)在x=处的切线方程为y=x+设其与曲线g(x)=ax-a相切于点(xaxeqoal(,)-a).则g′(x)=ax=且axeqoal(,)-a=x+解得x=-a=-eqf(,)切点坐标为(-).所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y=-·(x+)即x+y+=答案:x+y+=.(·山东青岛自主诊断)函数y=f(x)图象上不同两点A(xy)B(xy)处的切线的斜率分别是kAkB规定K(AB)=eqf(|kA-kB|,|AB|)(|AB|为线段AB的长度)叫作曲线y=f(x)在点A与点B之间的“近似曲率”.设曲线y=eqf(,x)上两点Aeqblc(rc)(avsalco(af(,a)))Beqblc(rc)(avsalco(f(,a)a))(a>且a≠)若m·K(AB)>恒成立则实数m的取值范围是.解析:因为y′=-eqf(,x)所以kA=-eqf(,a)kB=-a又|AB|=eqr(blc(rc)(avsalco(a-f(,a)))sup()+blc(rc)(avsalco(f(,a)-a))sup())=eqr()eqblc|rc|(avsalco(f(,a)-a))所以K(AB)=eqf(|kA-kB|,|AB|)=eqf(|a-f(,a)|,r()|f(,a)-a|)=eqf(f(,a)+a,r())因为a>且a≠所以a+eqf(,a)>eqr(a·f(,a))=即eqf(,K(AB))<eqf(r(),)由m·K(AB)>恒成立得m>eqf(,K(AB))即m≥eqf(r(),)答案:eqblcrc)(avsalco(f(r(),)+∞)).设函数y=x-x+的图象为C函数y=-x+ax+b的图象为C已知过C与C的一个交点的两切线互相垂直求a+b的值.解:对于C:y=x-x+有y′=x-对于C:y=-x+ax+b有y′=-x+a设C与C的一个交点为(xy)由题意知过交点(xy)的两条切线互相垂直.所以(x-)·(-x+a)=-即xeqoal(,)-(a+)x+a-=①又点(xy)在C与C上故有,)eqblc{(avsalco(y=x-x+,y=-xeqoal(,)+ax+b))?xeqoal(,)-(a+)x+-b=②由①②消去x可得a+b=eqf(,).设有抛物线C:y=-x+eqf(,)x-过原点O作C的切线y=kx使切点P在第一象限.()求k的值()过点P作切线的垂线求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解:()设点P的坐标为(xy)则y=kx①y=-xeqoal(,)+eqf(,)x-②①代入②得xeqoal(,)+eqblc(rc)(avsalco(k-f(,)))x+=因为P为切点所以Δ=eqblc(rc)(avsalco(k-f(,)))eqsup()-=得k=eqf(,)或k=eqf(,)当k=eqf(,)时x=-y=-当k=eqf(,)时x=y=因为P在第一象限所以所求的斜率k=eqf(,)()过P点作切线的垂线其方程为y=-x+③将③代入抛物线方程得x-eqf(,)x+=设Q点的坐标为(xy)则x=所以x=eqf(,)y=-所以Q点的坐标为eqblc(rc)(avsalco(f(,)-))

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