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      首页 极化恒等式教师版

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      极化恒等式教师版

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《极化恒等式教师版pdf》,可适用于考试题库领域

      巧用极化恒等式秒杀高考向量题江苏张锡文一、极化恒等式的概念:设,ab是两个平面向量则有恒等式()()ababab????????()有时也将()写成()()ababab????极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的即:abADBC????????,在三角形中也可以用三角形的中线来表示即abAMBC??它揭示了三角形的中线与边长的关系极化恒等式的作用主要在于它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”因此当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解二、极化恒等式的应用:、(浙江)在ABC?中M是BC的中点AMBC??则ABAC=析:法:基底法取BC的中点MABAMMB??ACAMMCAMMB?????()()ABACAMMBAMMBAMMB?????????法:坐标法以BC所在的直线为x轴BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系设点(,)Mxy则点(,)B?,点(,)C由AM?所以xy??(,)(,)ABACxyxyxy???????????MABCxy(,),()x,y()CMOAB法:极化恒等式(极化恒等式解决问题的典型范例)()()ABACABACABACAMCB??????????????、(上海)在正三角形ABC中D是BC上的点,ABBD??则ABAD??析:法:基底法()()()ABADABABBDABABBCABABACABABABAC????????????????法:坐标法以BC所在的直线为x轴BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系则(,)A,(,)B?,(,)C所以(,)AB???,(,)AD???所以ABAD?法:极化恒等式取BD的中点O连接AO,则在ABC?中由余弦定理:cosAOABAOABAOB???=所以ABADAODB???ABCDxyCOABOABCD、(江苏)如图在ABC△中D是BC的中点,EF是AD上两个三等分点BACA??BFCF???则BECE?的值是.析:法:基底法令DFa?DBb?则DCb??DEa?DAa?则BAab??CAab??BEab??CEab??BFab??CFab??则BACAab???BFCFab???BECEab???由BACA??BFCF???可得ab??ab???因此,ab??因此BECEab???????.法:基底法设,ABaACb??则BACAABACab???………①()()()()()()()()()()BFCFAFABAFACADABADACabaabbbaabbaab???????????????????????????????即:()()baab????………②由①②可求ab??所以()()BECEAEABAEAC???()()()()()()ADABADACabaabbbaab????????????????????????法:极化恒等式BACAABACADBD????BFCFFBFCFDBDADBD???????FEDCBAFEDCBA解得:,ADBD??,所以BECEEBECEDBDADBD??????、若AB是O的直径M是O的弦CD上的一个动点,ABCD??,则MAMB范围.析:法:基底法()()()()MAMBMOOAMOOBMOOAMOOAMOOAMO??????????过点O作OGCD?,垂足为G连接,OGOC,则OGOCCD?????,因为OCOMOG??即OM??所以??,MAMB??.法:坐标法如图设(,)Mxy点(,)A?,点(,)BMAMBxy???因为OM??所以??,xy??所以??,MAMB??法:极化恒等式:MAMBMOBAMO????,因为OCOMOG??即OM??所以??,MAMB??.GOABDCMxyAOBDCM、已知正三角形ABC内接于半径为的圆O,E为线段BC上一动点延长AE交圆O与点F则FAFB的取值范围是.析:法:极化恒等式过点C作CDAB?,垂足为D,则点D是AB中点连接FD所以ABACBC???FAFBFDBAFD????,因为点F在劣弧BC上FD??,(点F在点C处达到最大在点B处最小)所以??,FAFB?.法:坐标法(cos,sin)(cos,sin)cossinsinsinFAFB????????????????????????因为,?????????所以??sin,??所以??,FAFB?、如图,放置的边长为的正方形ABCD顶点,AD分别在x轴y轴正半轴(含原点)滑动则OBOC的最大值为.法:坐标法如图建系设ODA???,则(sin,)A?(,cos),D?(sincos,sin)B????(cos,cossin)C????所以(sincos,sin)(cos,cossin)OBOCsincoscossincossinsin因为(,)???所以sin,即即OBOC的最大值为.xyABOCDEDBCAFxy(cosαsinα)()()()FBCOAE法:极化恒等式如图取BCAD中点EF,OBOCOEBCOE因为OEOFEF?????(当OEBC?时取等号)所以OBOC即OBOC的最大值为.、(南京模拟)在ABC△中点,EF分别是线段,ABAC的中点点P在直线EF上若ABC△的面积为则PBPCBC的最小值是.析:极化恒等式取BC中点O,PBPCPOCB,所以PBPCBCPOCBPOBCPOBC因为POh?所以ABCPOBChBCS,所以PBPCBC的最小值是.、(安徽)平面向量,ab满足ab??则ab的最小值.法:ab??平方得abab???而ababab????所以abab???所以ab??.法:由定义知a与b共线反向时abab??要求ab的最小值只要求ab的最大值a与b共线反向时ababab????所以ab?当且仅当ab??时hOFECBAP取等号所以ab??法:极化恒等式因为()()ababab????????所以()()()abababab?????????所以ab??巩固练习:、(天津)在ABC△中,ABAC??,D是边BC的中点则ADBC?.、已知正三角形ABC内接于半径为的圆O点P是圆O上的动点则PAPB范围.析:过点C作CDAB?,垂足为D,则点D是AB中点连接PD所以ABACBC???PAPBPDBAPD????,因为PD??,(点P在点C处达到最大)所以??,PAPB??、设正方形ABCD的边长为动点P在以AB为直径的圆弧APB上(如图所示)则PDPC的取值范围是.ABDCPDBCAP变(南通三调)如图已知正方形ABCD的边长为E为AB的中点以A为圆心AE为半径作圆交AD于点F若P为劣弧EF上的动点则PCPD的最小值.法:极化恒等式PCPDPGCDPG????当,,APG三点共线时PG最小,此时PGAGAP??????,PCPD的最小值为?.法:坐标法(略)、已知AB是O的直径AB?C是圆O上异于,AB的一点P是圆O所在平面上任意一点则()PAPBPC?的最小值.、(南通二模)如图在平面四边形ABCD中O为BD的中点且OAOC若ABAD则BCDC的值是.、如图,在ABC?中,已知,,ABACBAC?????,点,DE分别在边,ABAC上,且,ABADACAE??若F为DE的中点,则BFDE的值为法:基底法法:几何法取EC的中点连接BG取BG中点M连接FM则BMDE?,且FMBG?,ABG?是等边三角形BFDEBFBMBMDE????法:坐标法法:极化恒等式取BD的中点N连接NF,EB,则BEAE?,OBCDAFEABDCPGFEABDCPFBDCAEMFBDCGEAP'GEFBCADP所以BE?,在DEB?中FNEB,所以FN?()()BFDEFBFDFNDBFN?????所以BFDE?备选:、(浙江)已知,ab是平面内两个互相垂直的单位向量若向量c满足()()acbc,则c的最大值是(A)(B)(C)(D)、(浙江)设,PABC?是边AB上一定点满足ABBP?且对于边AB上任一点P恒有PBPCPBPC则A??ABCB??BACCACAB?DBCAC?NFBDCEA、在平面直角坐标系xoy中,AB分别在,xy正半轴上移动AB若点P满足PAPB则OP的取值范围为.、在梯形ABCD中满足ABBC,,,ADBCABDC则ACBD.、(南京三模)在半径为的扇形AOB中AOB,C为弧上的动点AB与OC交与点P则OPBP的最小值是.、在等腰直角三角形ABC中ABAC,点E为斜边BC的中点点M在线段AB上运动则AEAMACAM的取值范围是.、已知,AB是圆O:xy的两个点P是线段AB上的动点当AOB的面积最大时则AOAPAP的最大值是.

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