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      首页 第6炼 函数的图像

      第6炼 函数的图像.doc

      第6炼 函数的图像

      大人
      2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

      简介:本文档为《第6炼 函数的图像doc》,可适用于考试题库领域

      资料来源:QQ群群文件共享第炼函数的图像一、基础知识、做草图需要注意的信息点:做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性对于一个陌生的可导函数可通过对导函数的符号分析得到单调区间图像形状依赖于函数的凹凸性可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第点)这两部分确定下来则函数大致轮廓可定但为了方便数形结合让图像更好体现函数的性质有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来下面以常见函数为例来说明作图时常体现的几个信息点()一次函数:,若直线不与坐标轴平行通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点:两点确定一条直线信息点:与坐标轴的交点()二次函数:其特点在于存在对称轴故作图时只需做出对称轴一侧的图像另一侧由对称性可得。函数先减再增存在极值点顶点若与坐标轴相交则标出交点坐标可使图像更为精确特点:对称性信息点:对称轴极值点坐标轴交点()反比例函数:,其定义域为是奇函数只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出)坐标轴为函数的渐近线特点:奇函数(图像关于原点中心对称)渐近线信息点:渐近线注:()所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制例如在反比例函数中轴是渐近线那么当曲线无限向轴接近但不相交则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。()水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若(或)时常数则称直线为函数的水平渐近线例如:当时故在轴正方向不存在渐近线当时故在轴负方向存在渐近线()竖直渐近线的判定:首先在处无定义且当时(或)那么称为的竖直渐近线例如:在处无定义当时所以为的一条渐近线。综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:与坐标轴的交点对称轴与对称中心极值点渐近线。例:作出函数的图像分析:定义域为且为奇函数故先考虑正半轴情况。故函数单调递增故函数为上凸函数当时无水平渐近线时所以轴为的竖直渐近线。零点:由这些信息可做出正半轴的草图在根据对称性得到完整图像:、函数图象变换:设函数其它参数均为正数()平移变换::的图像向左平移个单位:的图像向右平移个单位:的图像向上平移个单位:的图像向下平移个单位()对称变换::与的图像关于轴对称:与的图像关于轴对称:与的图像关于原点对称()伸缩变换::图像纵坐标不变横坐标变为原来的:图像横坐标不变纵坐标变为原来的()翻折变换::即正半轴的图像不变负半轴的原图像不要换上与正半轴图像关于轴对称的图像:即轴上方的图像不变下方的图像沿轴对称的翻上去。、二阶导函数与函数的凹凸性:()无论函数单调增还是单调减其图像均有种情况若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数()上凸函数特点:增区间增长速度越来越慢减区间下降速度越来越快下凸函数特点:增区间增长速度越来越快减区间下降速度越来越慢()与导数的关系:设的导函数为(即的二阶导函数)如图所示:增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响下凸函数斜率随的增大而增大即为增函数上凸函数随的增大而减小即为减函数综上所述:函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定进而能用二阶导函数的符号进行求解。二、方法与技巧:、在处理有关判断正确图像的选择题中常用的方法是排除法通过寻找四个选项的不同再结合函数的性质即可进行排除常见的区分要素如下:()单调性:导函数的符号决定原函数的单调性导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间()函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分()极值点()对称性(奇偶性)易于判断进而优先观察()函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性导函数增区间即为函数的下凸部分减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定、利用图像变换作图的步骤:()寻找到模板函数(以此函数作为基础进行图像变换)()找到所求函数与的联系()根据联系制定变换策略对图像进行变换。例如:作图:第一步寻找模板函数为:第二步寻找联系:可得第三步制定策略:由特点可得:先将图像向左平移一个单位再将轴下方图像向上进行翻折然后按照方案作图即可、如何制定图象变换的策略()在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤其规律如下:①若变换发生在“括号”内部则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部则属于纵坐标的变换例如::可判断出属于横坐标的变换:有放缩与平移两个步骤:可判断出横纵坐标均需变换其中横坐标的为对称变换纵坐标的为平移变换()多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后在安排顺序时注意以下原则:①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响无先后要求②横坐标的多次变换中每次变换只有发生相应变化例如:可有两种方案方案一:先平移(向左平移个单位)此时。再放缩(横坐标变为原来的)此时系数只是添给即方案二:先放缩(横坐标变为原来的)此时再平移时若平移个单位则(只对加)可解得故向左平移个单位③纵坐标的多次变换中每次变换将解析式看做一个整体进行例如:有两种方案方案一:先放缩:再平移时将解析式看做一个整体整体加即方案二:先平移:则再放缩时若纵坐标变为原来的倍那么无论取何值也无法达到所以需要对前一步进行调整:平移个单位再进行放缩即可()、变换作图的技巧:()图像变换时可抓住对称轴零点渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置有助于提高图像的精确性()图像变换后要将一些关键点标出:如边界点新的零点与极值点与轴的交点等三、例题精析:例:己知函数其导数的图象如图所示则函数的极大值是()ABCD思路:由图像可知:时,单调递增时,单调递减所以的极大值为答案:B小炼有话说:观察导函数图像时首要关注的是函数的符号即是在轴的上方还是下方导函数的符号决定原函数的单调性例:设函数可导的图象如图所示则导函数的图像可能为(  )思路:根据原函数的图像可得:在单调递增在正半轴先增再减再增故在负半轴的符号为正在正半轴的符号依次为“正负正”观察四个选项只有D符合答案:D小炼有话说:本题可直接由导函数的符号来排除其他选项若选项中也有符合D中“负半轴的符号为正在正半轴的符号依次为‘正负正’”那么可观察第二条标准:从图上看在负半轴中函数增长的速度越来越快则说明切线斜率随的增大而增大进而导函数在负半轴也单调递增依次类推可得到正半轴的情况D选项依然符合特征例:函数的部分图象为()思路:可得在单调递增在单调递减且可估计当即所以为函数的渐近线当由此可判断出图像正确答案:A小炼有话说:()本题考查的是通过分析函数性质作图单调性是非常重要的一个要素通过单调性也可排除其他三个选项()关于渐近线的判断:对于可这样理解时均趋向正无穷但的速度更快进而伴随着将远远大于进而比值趋于当,增长速度的排名为:直线(一次函数)<二次函数<指数函数例:函数的图像可能是()思路:观察解析式可判断出为奇函数排除A,C当时,故选择B答案:B小炼有话说:有两点可以优先观察:一个是奇偶性则图像具有对称性只需考虑正半轴的情况即可二是含有绝对值可利用的符号去掉绝对值进而得到正半轴的解析式。例(浙江文):函数的图像可能为()思路:观察个选项的图像其中AB图像关于轴对称C,D图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性可判断出所以为奇函数排除AB再观察C,D的区别之一就是的符号经过计算可得所以排除C答案:D例:已知为的导函数则的图像是()思路:可判断为奇函数图像关于原点中心对称排除。因为排除。故正确。答案:A小炼有话说:可优先判断出奇偶性进而排除一些选项对于选项而言其不同之处有两点一点是从处开始的符号解析的思路也源于此但需要代入特殊角进行判断A选项的图中发现在轴正半轴中靠近轴的函数值小于零从而选择最接近的特殊角除此之外图像的不同之处还在于从开始时的单调性所以也可对求导则时即应先减再增。所以排除C例:下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像其中一定不正确的序号是(  )A.①②B.③④C.①③D.①④思路:如图所示:在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的即单调增区间导数大于零单调减区间上导数小于零在③中显示在区间上导函数的值为负值而该区间上的函数图象显示不单调二者不一致所以③不正确在④图象显示在区间上导函数的值总为正数而相应区间上的函数图象却显示为减函数二者相矛盾所以不正确故选B答案:B小炼有话说:要注意导函数图像与原函数图像的联系:导函数的符号与原函数的单调性相对应导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。例:已知上可导函数的图象如图所示则不等式的解集为()ABCD思路:由图像可得:时时所以所解不等式为:或可得:答案:D例:函数的大致图象如图所示,则等于(  )ABCD思路:由图像可得:为的极值点为函数的零点,即是方程的两个根,,由答案:C小炼有话说:在观察一个函数图像时有几个地方值得关注:极值点单调区间的分界点导函数的零点零点函数符号的分界点单调性决定导函数的符号。例:(安徽)函数的图像如图所示则下列结论成立的是()ABCDxyO图xyOAxyOBxyOCyODx?EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation????EMBEDEquation???微信公众号:中学数学研讨部落unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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